סטטיסטיקה

מספר הילדים הוא סכום השכיחויות בדיאגרמת העמודות:

באימון השתתפו 20 ילדים.

תשובה: 20 ילדים

ממוצע לפי נוסחת הממוצע המשוקלל (נוסחאון):

סכום המכפלות לפי הטבלה:

ולכן:

בממוצע כל ילד קלע 7.25 קליעות באימון.

תשובה: $\bar{x}=7.25$ קליעות

80% מ־20 הילדים שהשתתפו באימון השתתפו במשחק:

במשחק השתתפו 16 ילדים.

תשובה: 16 ילדים

בטבלה של המשחק ידועות השכיחויות של שלוש קבוצות: 1, 3 ו־7 ילדים. סך הכול השתתפו 16 ילדים, לכן מספר הילדים שקלעו 4 קליעות הוא:

תשובה: 5 ילדים

נתון שממוצע הקליעות במשחק שווה לממוצע הקליעות באימון, כלומר 7.25. נבנה משוואה לפי נוסחת הממוצע (16 ילדים):

תשובה: $x=12$

תומר היה קולע 6 קליעות – פחות מהממוצע הקיים (7.25). כשמוסיפים לקבוצה ערך הקטן מהממוצע, הממוצע קטן.

בדיקה: הממוצע החדש של 17 הילדים הוא

לכן הטענה שהממוצע יגדל אינה נכונה – הוא יקטן.

תשובה: לא, הממוצע יקטן

נחבר את מספרי הלקוחות בכל סוגי התספורות:

תשובה: 45 לקוחות.

ממוצע ההכנסות הוא הממוצע של התשלומים של כל הלקוחות (המחיר הוא הערך $x_i$, ומספר הלקוחות הוא השכיחות $f_i$):

תשובה: בקירוב 159.33 שקלים.

הממוצע יהיה הגדול ביותר כאשר כל אחד משלושת הלקוחות הנוספים משלם את המחיר הגבוה ביותר – 210 שקלים (תספורת מיוחדת).

סך ההכנסות החדש ומספר הלקוחות החדש:

תשובה: 162.5 שקלים.

שלושת הלקוחות שילמו אותו מחיר. כשמוסיפים ערכים קטנים מהממוצע – הממוצע יורד, וכשמוסיפים ערכים גדולים מהממוצע – הממוצע עולה. לכן הממוצע ירד רק אם המחיר ששילם כל אחד מהם קטן מ־159.33 שקלים.

I. שיער קצר: 150 שקלים, פחות מ־159.33, ולכן הממוצע יורד. ייתכן.

II. שיער ארוך בהנחה של 15 שקלים:

165 שקלים יותר מ־159.33, ולכן הממוצע עולה. לא ייתכן.

III. מיוחדת בהנחה של 35% (משלמים 65% מהמחיר):

136.5 שקלים פחות מ־159.33, ולכן הממוצע יורד. ייתכן.

תשובה: I – ייתכן; II – לא ייתכן; III – ייתכן.

סכום כל האחוזים בדיאגרמת עיגול הוא 100%. האחוז של עצי השזיף והלימון יחד:

נשארו לעצי האפרסק ולעצי התפוח:

אחוז עצי האפרסק שווה לאחוז עצי התפוח, ולכן כל אחד מהם הוא חצי מ־40%:

תשובה: עצי אפרסק: 20%, עצי תפוח: 20%.

מחשבים את האחוז של כל סוג מתוך 700 העצים:

• עצי שזיף: $0.12\cdot 700=84$
• עצי לימון: $0.48\cdot 700=336$
• עצי אפרסק: $0.2\cdot 700=140$
• עצי תפוח: $0.2\cdot 700=140$

בדיקה: $84+336+140+140=700$ ✓

תשובה: שזיף: 84 עצים, לימון: 336 עצים, אפרסק: 140 עצים, תפוח: 140 עצים.

משלימים בשורה התחתונה את מספר העצים שמצאנו בסעיף ב:

תשובה: שזיף 84, לימון 336, אפרסק 140, תפוח 140 (ראו טבלה).

זו טבלת שכיחויות: המשקל הוא $x_i$ ומספר העצים הוא השכיחות $f_i$. לפי הנוסחה לממוצע:

המונה (סך משקל הפירות בכל המטע):

N הוא מספר העצים, 700:

תשובה: 91.2 ק״ג

המשקלים החדשים בשנת 2020:

• אפרסק (גדל ב־10%): $90\cdot 1.1=99$ ק״ג
• תפוח (קטן ב־10%): $120\cdot 0.9=108$ ק״ג

מספר העצים לא השתנה. סכום המכפלות החדש:

ולכן:

$90.6<91.2$, ולכן המשקל הממוצע קטן.

הסבר בלי חישוב מלא: מספר עצי האפרסק שווה למספר עצי התפוח (140), אבל 10% מ־120 ק״ג (12 ק״ג) גדול מ־10% מ־90 ק״ג (9 ק״ג). כלומר המשקל שירד בתפוחים גדול מהמשקל שנוסף באפרסקים, ולכן סך המשקל — והממוצע — קטנו.

תשובה: קטן (ב־2020 הממוצע הוא 90.6 ק״ג, לעומת 91.2 ק״ג ב־2019).

נחבר את המחירים של חמשת היעדים:

ונחלק במספר היעדים:

המחיר הממוצע הוא 2,800 שקלים.

תשובה: 2,800 שקלים

הממוצע של שישה יעדים הוא 2,700, ולכן סכום ששת המחירים:

סכום המחירים של חמשת היעדים הקודמים הוא 14,000 (מסעיף א), לכן מחיר החבילה לים המלח:

מחיר חבילת הנופש לים המלח הוא 2,200 שקלים.

תשובה: 2,200 שקלים

נסדר את ששת המחירים מהקטן לגדול:

1,300 , 1,900 , 2,200 , 2,700 , 3,800 , 4,300

מספר הנתונים זוגי (6), ולכן החציון הוא ממוצע שני האיברים האמצעיים (השלישי והרביעי):

החציון הוא 2,450 שקלים.

תשובה: 2,450 שקלים

יחד צפת ותל אביב:

נסמן ב־$x$ את האחוז של צפת. תל אביב גדול פי 2, כלומר $2x$:

15% מחבילות הנופש היו לצפת (ו־30% לתל אביב).

תשובה: 15%

מספר החבילות לצפת:

מחיר חבילה לצפת הוא 1,300 שקלים:

גיא שילם 15,600 שקלים עבור החבילות לצפת.

תשובה: 15,600 שקלים

תשובה: 120 ילדים.

המחיר הממוצע (המחיר הוא $x_i$, ומספר הילדים הוא $f_i$):

תשובה: 38.75 שקלים.

הפעילות השכיחה היא הפעילות שהכי הרבה ילדים קנו לה כרטיס: 54 ילדים קנו כרטיס לסדנת יצירה.

תשובה: סדנת יצירה.

תשובה: 45%

המחירים החדשים:

השינוי בסך ההכנסות: בשחייה כל אחד מ־24 הילדים משלם 10 שקלים פחות, ובסדנת הבישול כל אחד מ־24 הילדים משלם $72-60=12$ שקלים יותר:

סך התשלומים גדל ב־48 שקלים, ומספר הילדים לא השתנה (120), ולכן המחיר הממוצע גדל.

בדיקה:

תשובה: המחיר הממוצע גדל (מ־38.75 ל־39.15 שקלים).

מספר העובדים הוא סכום גובהי כל העמודות בדיאגרמה:

תשובה: 40 עובדים

לפי הדיאגרמה בונים טבלת שכיחויות ($x_i$ — מספר הטיסות, $f_i$ — מספר העובדים):

תשובה: 4.15 טיסות

יש 40 עובדים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים — הערך ה־20 והערך ה־21 (כשהנתונים מסודרים לפי הגודל).

שכיחות מצטברת:

• 2 טיסות: עובדים 1–5
• 3 טיסות: עובדים 6–13
• 4 טיסות: עובדים 14–20
• 5 טיסות: עובדים 21–36

הערך ה־20 הוא 4 והערך ה־21 הוא 5:

תשובה: 4.5 טיסות

מענק קיבלו העובדים שטסו 4, 5 או 6 פעמים:

האחוז מתוך 40 העובדים:

תשובה: 67.5%

בחברה האחרת יש $3+11+6=20$ עובדים. הממוצע שם שווה לממוצע בחברה הראשונה, 4.15:

תשובה: $x=9$

נקרא מהדיאגרמה את מספר התלמידים בכל ציון ונחבר:

תשובה: 60 תלמידים.

סכום המכפלות:

ולכן:

תשובה: ממוצע הציונים: 74

מספר התלמידים זוגי (60), ולכן החציון הוא הממוצע של הציון ה־30 והציון ה־31 (כשהציונים מסודרים מהקטן לגדול).

שכיחות מצטברת: עד ציון 60 יש $5+10=15$ תלמידים, ועד ציון 70 יש $15+15=30$ תלמידים. לכן הציון ה־30 הוא 70, והציון ה־31 הוא 80.

תשובה: החציון: 75

הממוצע של שני הציונים שנוספו הוא $\frac{70+80}{2}=75$, והוא גדול מהממוצע 74. כשמוסיפים ערכים שהממוצע שלהם גדול מהממוצע – הממוצע גדל.

בדיקה:

תשובה: הממוצע גדל (מ־74 לכ־74.03).

נוסף ציון אחד קטן מהחציון 75 (הציון 70) וציון אחד גדול ממנו (הציון 80), ולכן החציון לא זז.

בדיקה: עכשיו יש 62 תלמידים, והחציון הוא הממוצע של הציון ה־31 והציון ה־32. עד ציון 70 יש עכשיו $5+10+16=31$ תלמידים, ולכן הציון ה־31 הוא 70 והציון ה־32 הוא 80:

תשובה: החציון לא השתנה (נשאר 75).

סירות המשוט והמנוע יחד: $15\%+25\%=40\%$. נשארו $100\%-40\%=60\%$ לאופנועי הים ולגלשני הסאפ.

נסמן ב־$x$ את אחוז אופנועי הים. אחוז גלשני הסאפ גדול פי 2, כלומר $2x$:

תשובה: 20%

אחוז גלשני הסאפ: $2\cdot 20\%=40\%$. נחשב מתוך 40 כלי השיט:

• סירות מנוע: $0.25\cdot 40=10$
• אופנועי ים: $0.2\cdot 40=8$
• סירות משוט: $0.15\cdot 40=6$
• גלשני סאפ: $0.4\cdot 40=16$

בדיקה: $10+8+6+16=40$ ✓

תשובה: סירות מנוע 10, אופנועי ים 8, סירות משוט 6, גלשני סאפ 16.

סכום המכפלות:

ולכן:

תשובה: 226.5 שקלים

המחיר של אופנוע ים (280 שקלים) גדול מהממוצע הקודם (226.5 שקלים). הוספת ערכים גדולים מהממוצע מגדילה את הממוצע.

בדיקה בחישוב:

$231.36>226.5$ — הממוצע גדל.

תשובה: גדל — המחיר של אופנוע ים (280) גבוה מהממוצע (226.5); הממוצע החדש בערך 231.36 שקלים.

הקבוצה שכרה $x$ סירות מנוע ו־$10-x$ סירות משוט. סכום המחירים הוא $400x+150(10-x)$, והממוצע לסירה הוא 350 שקלים:

בדיקה: $8$ סירות מנוע ו־$2$ סירות משוט: $\frac{3200+300}{10}=350$ ✓

תשובה: 8 סירות מנוע

תשובה: 200 תורמים.

גובה התרומה הוא $x_i$, ומספר התורמים הוא $f_i$:

תשובה: 18.4 שקלים.

התרומות שמעל הממוצע (18.4 שקלים) הן 20 שקלים ו־50 שקלים:

תשובה: 43.5%

תלמידי י״א אספו (לפי סעיף ב (1)) $\sum x_i\cdot f_i=3680$ שקלים:

תשובה: 7,280 שקלים.

סל מזון ליחיד: עוגה (18), אורז (12) ושמן ($x$):

סל מזון למשפחה: אורז (12), פסטה (4), עוגה (18) ושני בקבוקי שמן:

תשובה: ליחיד: $30+x$; למשפחה: $34+2x$

הם קנו 48 סלים ליחידים ו־80 סלים למשפחות בכל הכסף שאספו – 7,280 שקלים (סעיף ג):

תשובה: $x=15$ (בקבוק שמן עולה 15 שקלים).

סכום כל האחוזים בדיאגרמת העיגול הוא 100%:

תשובה: 28%

מחשבים את האחוז של כל מוצר מתוך 200 המוצרים:

• עפרונות: $0.3\cdot 200=60$
• סרגלים: $0.2\cdot 200=40$
• מחקים: $0.22\cdot 200=44$
• עטים: $0.28\cdot 200=56$

בדיקה: $60+40+44+56=200$ ✓

תשובה: עפרונות 60, סרגלים 40, מחקים 44, עטים 56.

תשובה: 6.58 שקלים

יש 200 מוצרים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא הממוצע של הערך ה־100 והערך ה־101 (לפי סדר המחירים).

שכיחות מצטברת:

• עיפרון (3 שקלים): מוצרים 1–60
• סרגל (5 שקלים): מוצרים 61–100
• מחק (6 שקלים): מוצרים 101–144
• עט (12 שקלים): מוצרים 145–200

הערך ה־100 הוא 5 והערך ה־101 הוא 6:

תשובה: 5.5 שקלים

המחיר של עט אחרי הנחה של 30%:

המחיר 8.4 שקלים גבוה מהמחיר הממוצע (6.58 שקלים). הוספת ערכים הגבוהים מהממוצע מגדילה את הממוצע.

בדיקה בחישוב:

$6.78>6.58$ — הממוצע גדל.

תשובה: גדל — כל עט נוסף נמכר ב־8.4 שקלים, יותר מהממוצע (6.58); הממוצע החדש בערך 6.78 שקלים.

מחברים את העמודות השחורות (מפעל א'):

תשובה: 40 עובדים

מחברים את העמודות האפורות (מפעל ב'):

תשובה: 28 עובדים

במפעל א' יש 12 עובדים בשיווק מתוך 40:

במפעל ב' יש 10 עובדים בשיווק מתוך 28:

$35.7\%>30\%$, ולכן אחוז עובדי השיווק גדול יותר במפעל ב'.

תשובה: במפעל ב' (בערך 35.7%, לעומת 30% במפעל א').

לפי העמודות האפורות (מפעל ב'):

תשובה: הנהלה 4, שיווק 10, ייצור 14.

לפי הנוסחה לממוצע, עם $N=28$:

תשובה: 12,400 שקלים

נסדר את 28 המשכורות מהקטנה לגדולה:

• 9,000 שקלים (ייצור): עובדים 1–14
• 12,400 שקלים (שיווק): עובדים 15–24
• 18,000 שקלים (הנהלה): עובדים 25–28

מספר העובדים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של הערך ה־14 והערך ה־15:

תשובה: 10,700 שקלים

נקרא מהדיאגרמה את מספר המשתתפים בכל קבוצת גיל: עד גיל 3 – 15, בני 3–12 – 30, בני 12–18 – 40, בני 18–70 – 55, יותר מ־70 – 10.

תשובה: 150 משתתפים.

כרטיס חינם מקבלים ילדים עד גיל 3 ומבוגרים בני יותר מ־70:

תשובה: 25 משתתפים.

• 0 שקלים – הכרטיסים החינמיים: 25 משתתפים (סעיף ב).
• 30 שקלים – בני 3 עד 12: 30 משתתפים.
• 35 שקלים – בני 12 עד 18: 40 משתתפים.
• 45 שקלים – בני 18 עד 70: 55 משתתפים.

תשובה: 0 – 25; 30 – 30; 35 – 40; 45 – 55.

לפי הטבלה (המחיר $x_i$, מספר המשתתפים $f_i$):

תשובה: בערך 31.83 שקלים.

דנה (בת 16) משלמת 35 שקלים, וסבא שלה (בן 74, יותר מ־70) מקבל כרטיס חינם – 0 שקלים.

הממוצע של שני המחירים שנוספו:

17.5 קטן מהממוצע 31.83, ולכן הממוצע קטן.

בדיקה:

תשובה: המחיר הממוצע קטן (מכ־31.83 לכ־31.64 שקלים).

נחבר את מספרי הלקוחות בטבלה:

ביום זה קיבלו שירות 50 לקוחות.

תשובה: 50 לקוחות

לכל סוג שירות נכפול את המחיר במספר הלקוחות:

סך כל התשלומים:

התשלום הממוצע:

התשלום הממוצע ללקוח היה 40 שקלים.

תשובה: 40 שקלים

הילד שילם 40 שקלים – בדיוק כמו הממוצע.

הוספת נתון השווה לממוצע אינה משנה את הממוצע:

התשלום הממוצע ללקוח לא השתנה.

תשובה: לא השתנה

סטיית התקן מודדת את הפיזור של הנתונים סביב הממוצע.

הנתון החדש (40) שווה לממוצע, ולכן המרחק שלו מהממוצע הוא 0: סכום ריבועי הסטיות מהממוצע לא משתנה, אבל מספר הנתונים גדל מ־50 ל־51.

לכן סטיית התקן קטֵנה.

(בדיקה: סכום ריבועי הסטיות הוא 6,600.)

תשובה: קטנה

משפחת מאיר: הסכום שהיא מוציאה על מזון שווה לסכום שהיא מוציאה על חינוך ותרבות, ולכן בדיאגרמה שלה האחוזים של מזון ושל חינוך ותרבות שווים. רק בדיאגרמה III זה מתקיים (25% ו־25%). לכן דיאגרמה III – משפחת מאיר.

משפחת אהרון: ההוצאה על דיור גדולה פי 2.5 מההוצאה על לבוש. נבדוק את היחס בין האחוזים בדיאגרמות I ו־II:

לכן דיאגרמה I – משפחת אהרון, ודיאגרמה II – משפחת כהן.

תשובה: I – משפחת אהרון; II – משפחת כהן; III – משפחת מאיר.

משפחת כהן – דיאגרמה II: חינוך ותרבות הם 25% מההוצאות:

תשובה: 3,000 שקלים.

נחשב את ההוצאה על חינוך ותרבות בכל משפחה:

משפחת כהן (סעיף ב): 3,000 שקלים.

משפחת אהרון (דיאגרמה I, 16%):

משפחת מאיר (דיאגרמה III, 25%):

הסכום הגבוה ביותר – 3,750 שקלים – הוציאה משפחת מאיר.

תשובה: משפחת מאיר (3,750 שקלים; כהן – 3,000, אהרון – 2,240).

תשובה: 8,900 שקלים.

נחשב את סטיית התקן לפי הנוסחה מהנוסחאון ($\bar{x}=8,900$, $N=4$, כל שכיחות היא 1):

נחשב לכל משכורת את המרחק מהממוצע בריבוע:

סכום הריבועים:

נציב בנוסחה:

סטיית התקן של המשכורות היא בערך 223.61 שקלים.

תשובה: כ־223.61 שקלים.

נסדר את המשכורות מהקטנה לגדולה:

מספר הנתונים זוגי (4), ולכן החציון הוא ממוצע שני האמצעיים:

תשובה: 8,900 שקלים.

משכורת העובד החדש (8,700) קטנה מהממוצע הנוכחי (8,900), ולכן הממוצע של חמשת העובדים יקטן.

בדיקה:

תשובה: הממוצע יקטן (ל־8,860 שקלים), כי המשכורת החדשה קטנה מהממוצע.

נסדר את חמש המשכורות:

מספר הנתונים אי־זוגי (5), ולכן החציון הוא הנתון האמצעי – השלישי בתור:

תשובה: 8,800 שקלים.

סך הכול נמכרו 100 ספרים. מחסרים את מספרי הספרים בשאר הגזרות:

תשובה: 15 ספרים

תשובה: 20 שקלים: 15; 30 שקלים: 35; 40 שקלים: 25; 50 שקלים: 25 (סה״כ 100).

תשובה: 36 שקלים

השכיח הוא הערך שהשכיחות שלו הכי גבוהה. הכי הרבה ספרים (35) נמכרו במחיר 30 שקלים.

תשובה: 30 שקלים

מחיר כל אחד מהספרים הנוספים הוא 36 שקלים — בדיוק המחיר הממוצע. הוספת ערכים השווים לממוצע לא משנה את הממוצע.

בדיקה:

תשובה: יישאר ללא שינוי (36 שקלים) — המחיר של הספרים הנוספים שווה לממוצע.

סטיית התקן מודדת את הפיזור של הנתונים סביב הממוצע. הספרים הנוספים נמצאים בדיוק בממוצע (המרחק שלהם מהממוצע הוא 0), ולכן הם לא מוסיפים פיזור, אבל מגדילים את מספר הנתונים $N$. לכן הפיזור הממוצע — סטיית התקן — קטן.

בדיקה בחישוב, לפי $S=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2{f}_i}{N}}$:

תשובה: תקטן — הנתונים שנוספו שווים לממוצע ולכן מקטינים את הפיזור (בערך 10.20 ← 9.95).