מצגת הסבר – סטטיסטיקה

14 שקפים · טבלת שכיחויות, ממוצע, חציון, שכיח וסטיית תקן

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

סטטיסטיקה

מצגת הסבר – ממוצע, חציון, שכיח וסטיית תקן

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35371כיתה י״אלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353711 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלת הסטטיסטיקה מקבלים נתונים בטבלה או בדיאגרמה, ושואלים עליהם:

לקרוא דיאגרמה ולבנות טבלת שכיחויות
לחשב ממוצע, חציון ושכיח
לחשב סטיית תקן
לחשב אחוזים מתוך הקבוצה
להסביר מה קורה לממוצע ולחציון כשמוסיפים נתון

שתי הנוסחאות

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} f _{1} + \dots + x _{n} f _{n}}{N}

ממוצע

וסטיית תקן $S$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353712 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

טבלת שכיחויות

מספר העובדים לפי מספר הטיסות

כל עמודה היא ערך $x_{i}$ (מספר הטיסות) עם שכיחות $f_{i}$ (כמה עובדים):

$x_{i}$	2	3	4	5	6
$f_{i}$	5	8	7	16	4

$N$ – מספר כל הנתונים = סכום השכיחויות:

N = 5 + 8 + 7 + 16 + 4 = 40

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 1

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353713 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון?

📘 מהנוסחאון – סטטיסטיקה

$f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ הם השכיחויות של $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ בהתאמה, ו־ $N = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{n}$

ממוצע:

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} f _{1} + x _{2} f _{2} + \dots + x _{n} f _{n}}{N}

סטיית תקן:

S = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} \cdot f _{1} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} \cdot f _{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2} \cdot f _{n}}{N}

חציון ושכיח לא מופיעים בנוסחאון – צריך לזכור את ההגדרות.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353714 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

ממוצע

בונים טבלה: ערכים $x_{i}$ ושכיחויות $f_{i}$ .
כופלים כל ערך בשכיחות שלו ומחברים.
מחלקים במספר כל הנתונים $N$ .

כשכל נתון מופיע פעם אחת ( $f_{i} = 1$ ) – מחברים את כולם ומחלקים במספרם.

דוגמה

מספר הטיסות של 40 העובדים:

סכום המכפלות:

2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 16 + 6 \cdot 4

= 10 + 24 + 28 + 80 + 24 = 166

\overset{x}{ˉ} = \frac{166}{40} = 4.15

4.15 טיסות

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353715 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

חציון ושכיח

חציון – הנתון האמצעי

מסדרים את הנתונים לפי הגודל.
$N$ אי־זוגי ← הנתון האמצעי.
$N$ זוגי ← הממוצע של שני האמצעיים.

בטבלת שכיחויות סופרים (שכיחות מצטברת): ב־40 עובדים האמצעיים הם ה־20 וה־21.

טיסות	2	3	4	5
עובדים מס׳	1–5	6–13	14–20	21–36

\frac{4 + 5}{2} = 4.5

שכיח – הערך הנפוץ ביותר

הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר (העמודה הגבוהה).

בדיאגרמת הטיסות: 5 טיסות (16 עובדים).

שימו לב: השכיח הוא הערך (5 טיסות) ולא השכיחות (16).

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353716 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

סטיית תקן – צעד אחר צעד

המשכורות של 4 עובדים: 8,600, 9,000, 8,800, 9,200. הממוצע $\overset{x}{ˉ} = 8, 900$ .

$x_{i}$	$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$
8,600	$- 300$	90,000
9,000	100	10,000
8,800	$- 100$	10,000
9,200	300	90,000
סכום		200,000

S = \frac{200 , 000}{4} = 50, 000 \approx 223.61

בגרות חורף נבצרים תשפ״ב (2022) · שאלה 6

מחשבים את הממוצע $\overset{x}{ˉ}$ .
לכל ערך: המרחק מהממוצע, בריבוע.
כופלים בשכיחות $f_{i}$ (כאן כל $f_{i} = 1$ ) ומחברים.
מחלקים ב־ $N$ ומוציאים שורש.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353717 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

מה קורה כשמוסיפים נתון?

הממוצע

הנתון החדש	הממוצע
גדול מהממוצע	גדל ↑
קטן מהממוצע	קטן ↓
שווה לממוצע	לא משתנה

בדיקה בחישוב: (סכום ישן + הנתון החדש) חלקי $N + 1$ .

החציון

מסדרים מחדש את כל הנתונים ומוצאים שוב את האמצעי.

דוגמה: נוסף עובד עם 8,700. הסדר החדש:

8, 600, 8, 700, 8, 800, 9, 000, 9, 200

5 נתונים ← החציון הוא השלישי: 8,800.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353718 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

מציאת נתון חסר מתוך הממוצע

מסמנים את הנתון החסר ב־ $x$ .
כותבים את נוסחת הממוצע עם $x$ ומשווים לממוצע הנתון.
כופלים ב־ $N$ ופותרים.

אותה שיטה כשחסרה שכיחות – רק שאז $x$ במקום של $f_{i}$ .

דוגמה

בחברה אחרת: 3 עובדים טסו $x$ פעמים, 11 טסו 4 פעמים, 6 טסו 2 פעמים. הממוצע שם 4.15.

\frac{x \cdot 3 + 4 \cdot 11 + 2 \cdot 6}{20} = 4.15

3 x + 44 + 12 = 83

3 x = 27 \Rightarrow x = 9

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 1

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353719 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א)

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 1

בדיאגרמה – מספר הטיסות שטסו העובדים בחברה בשנה מסוימת.

א1

כמה עובדים בחברה?

5 + 8 + 7 + 16 + 4 = 40

א2

מהו ממוצע מספר הטיסות?

\overset{x}{ˉ} = \frac{166}{40} = 4.15

א3

מהו החציון?

40 נתונים ← ה־20 וה־21. ה־20 הוא 4, ה־21 הוא 5.

\frac{4 + 5}{2} = 4.5

4.5 טיסות

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537110 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ב, ג)

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 1

עובד שטס 4 פעמים או יותר קיבל מענק. כמה אחוזים מהעובדים קיבלו מענק?

7 + 16 + 4 = 27

\frac{27}{40} \cdot 100% = 67.5%

67.5%

בחברה אחרת: $x$ טיסות – 3 עובדים, 4 טיסות – 11 עובדים, 2 טיסות – 6 עובדים. הממוצע שווה לממוצע בחברה הראשונה. מצאו את $x$ .

$3 + 11 + 6 = 20$ עובדים:

\frac{x \cdot 3 + 4 \cdot 11 + 2 \cdot 6}{20} = 4.15

3 x = 27

$x = 9$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537111 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות: משכורות

בגרות חורף נבצרים תשפ״ב (2022) · שאלה 6

המשכורות של 4 עובדים: 8,600, 9,000, 8,800 ו־9,200 שקלים.

\overset{x}{ˉ} = \frac{35 , 600}{4} = 8, 900

סטיית התקן (הטבלה בשקף „סטיית תקן”):

S = \frac{200 , 000}{4} \approx 223.61

חציון: 8,600, 8,800, 9,000, 9,200

\frac{8 , 800 + 9 , 000}{2} = 8, 900

הצטרף עובד עם משכורת 8,700. מה יקרה לממוצע?

8,700 קטן מהממוצע 8,900 ← הממוצע יקטן.

\frac{35 , 600 + 8 , 700}{5} = 8, 860

מהו החציון החדש?

5 נתונים ← השלישי בתור.

8,800 שקלים

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537112 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בטבלת שכיחויות מחלקים ב־ $N$ (מספר האנשים), לא במספר העמודות.
חציון – קודם מסדרים לפי הגודל.
$N$ זוגי ← ממוצע של שני האמצעיים.

השכיח הוא ערך, לא שכיחות.
בסטיית תקן: ריבוע של כל מרחק, כפול השכיחות, ובסוף – שורש.
נתון חדש: משווים אותו לממוצע – ומנמקים במילים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537113 / 14

בס״דסטטיסטיקה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

מספר הילדים ב־10 משפחות:

מספר ילדים $x_{i}$	1	2	3
משפחות $f_{i}$	2	5	3

מהו הממוצע?
מהם החציון והשכיח?
מהי סטיית התקן?
נוספה משפחה עם 3 ילדים. האם הממוצע יגדל, יקטן או לא ישתנה?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3 = 21$
$\overset{x}{ˉ} = \frac{21}{10} = 2.1$
חציון: הנתונים ה־5 וה־6 הם 2 ← 2. שכיח: 2
$1.21 \cdot 2 + 0.01 \cdot 5 + 0.81 \cdot 3 = 4.9$
$S = \frac{4.9}{10} = 0.49 = 0.7$
3 גדול מהממוצע 2.1 ← יגדל (ל־ $\frac{24}{11} \approx 2.18$ )

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537114 / 14

› לכל המצגות