דמיון משולשים

במשולש ישר־הזווית $ABC$ (הזווית $C$ ישרה) לפי משפט פיתגורס:

אורך המדרגות הנעות הוא 11.25 מטרים.

תשובה: $AB=11.25$ מטרים

במשולשים $ABC$ ו־$ADE$:

$\angle A$ – זווית משותפת.

$\angle AED=\angle ACB=90^{\circ }$ (שני עמודי התמיכה מאונכים לקרקע).

לכן המשולשים דומים לפי משפט הדמיון ז.ז. (שתי זוויות שוות): $△ABC\sim △ADE$.

תשובה: שתי זוויות שוות (ז.ז.)

הצלעות המתאימות הן היתרים $AB$ ו־$AD$:

תשובה: $k=\frac{3}{2}$

$BC$ ו־$DE$ הן צלעות מתאימות, לכן היחס ביניהן הוא יחס הדמיון:

תשובה: $DE=4.5$ מטרים

גם $AC$ ו־$AE$ צלעות מתאימות:

הנקודה $E$ נמצאת בין $A$ ל־$C$, לכן:

המרחק בין שני עמודי התמיכה הוא 3 מטרים.

תשובה: $EC=3$ מטרים

שני המשולשים שווי צלעות, ולכן בכל אחד מהם כל הזוויות שוות ל־$60^{\circ }$:

שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, ולכן המשולשים דומים (משפט דמיון ז.ז.).

(אפשר לנמק גם כך: היחס בין כל זוג צלעות מתאימות זהה, כי בכל משולש כל הצלעות שוות – דמיון צ.צ.צ.)

תשובה: בשני המשולשים כל הזוויות $60^{\circ }$, ולכן הם דומים (ז.ז.).

במשולש שווה צלעות הגובה לצלע הוא גם תיכון, ולכן $K$ אמצע $BC$:

במשולש ישר הזווית $ABK$ ($\angle K=90^{\circ }$), לפי משפט פיתגורס:

(בדרך אחרת: $\sin 60^{\circ }=\frac{AK}{72}$, ולכן $AK=72\cdot \sin 60^{\circ }\approx 62.35$.)

תשובה: $AK=36\sqrt{3}\approx 62.35$ ס״מ

תשובה: $1296\sqrt{3}\approx 2244.7$ סמ״ר

יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות:

תשובה: $\frac{3}{2}$ (כלומר $1.5$)

היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(בדיקה בדרך אחרת: הגובה במשולש $DEF$ הוא $\sqrt{48^2-24^2}\approx 41.57$, ולכן $S_{DEF}=\frac{48\cdot 41.57}{2}\approx 997.7$.)

תשובה: $576\sqrt{3}\approx 997.7$ סמ״ר

השטח האפור הוא שטח המשולש הגדול פחות שטח המשולש הפנימי (נשתמש בערכים עם שתי ספרות אחרי הנקודה, כדי שהעיגול לא יצטבר):

בחישוב מדויק: $1296\sqrt{3}-576\sqrt{3}=720\sqrt{3}\approx 1247.1$.

תשובה: $720\sqrt{3}\approx 1247.1$ סמ״ר

המשולש $ABC$ שווה שוקיים ($AB=AC$), ו־$AF$ הוא הגובה לבסיס $BC$. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $F$ היא אמצע $BC$:

המשולש $AFC$ ישר זווית ($\angle AFC=90^{\circ }$). לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $AC=42$ מטרים

שני המשולשים שווי שוקיים, והם דומים. השוק $AC$ במשולש $ABC$ מתאימה לשוק $DE$ במשולש $DCE$, ולכן יחס הדמיון הוא:

תשובה: $\frac{7}{5}$ (או $1.4$)

הבסיס $BC$ מתאים לבסיס $CE$, ולכן היחס ביניהם שווה ליחס הדמיון:

אורך הגשר כולו:

תשובה: $BE=86.4$ מטרים

ארבעת המיתרים: $AB=AC=42$ ו־$DC=DE=30$ (מטרים). האורך הכולל:

מטר אחד עולה 530 שקלים:

תשובה: $76,320$ שקלים

במשולשים $ABC$ ו־$ADE$:

$\angle A$ – זווית משותפת.

$DE\parallel BC$, ולכן $\angle ADE=\angle ABC$ (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים).

לכן המשולשים דומים לפי משפט הדמיון ז.ז. (שתי זוויות שוות):

תשובה: שתי זוויות שוות (ז.ז.)

יחס הדמיון בין $ABC$ ל־$ADE$ הוא 2, והצלעות המתאימות הן $AB$ ו־$AD$:

אורך הצלע $AB$ הוא 10.4 מטרים.

תשובה: $AB=10.4$ מטרים

המשולש שווה שוקיים, ולכן $AC=AB=10.4$:

היקף חזית הבית הוא 28.8 מטרים.

תשובה: 28.8 מטרים

$DE$ ו־$BC$ הן צלעות מתאימות, ויחס הדמיון הוא 2:

$G$ היא אמצע $DE$:

אורך הקטע $DG$ הוא 2 מטרים.

תשובה: $DG=2$ מטרים

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס $AG$ הוא גם גובה, ולכן $\angle AGD=90^{\circ }$.

במשולש ישר־הזווית $AGD$ לפי משפט פיתגורס:

שטח החלון (המשולש $ADE$):

שטח החלון הוא 9.6 מ״ר.

תשובה: 9.6 מ״ר

יחס הדמיון בין המשולש הגדול $ABC$ למשולש הקטן $EFG$ הוא $3:2$, ולכן היחס בין צלעות מתאימות הוא $\frac{3}{2}$:

תשובה: $BC=1.8$ מטר

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $D$ אמצע $BC$:

במשולש ישר הזווית $ABD$ ($\angle D=90^{\circ }$), לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $AB=2.34$ מטר

$AB=AC=2.34$ (משולש שווה שוקיים):

תשובה: 6.48 מטר

נחשב את שטח פתח האוהל הקטן. שטח המשולש הגדול:

היחס בין שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(בדרך אחרת: הגובה במשולש הקטן הוא $\frac{2.16}{1.5}=1.44$, ולכן $S_{EFG}=\frac{1.2\cdot 1.44}{2}=0.864$.)

שטח הפתח הוא $0.864$ מ״ר, והוא גדול מ־$0.7$ מ״ר, ולכן הבד לא יספיק.

תשובה: לא. שטח פתח האוהל הקטן הוא 0.864 מ״ר, יותר מ־0.7 מ״ר.

$ABCD$ הוא מלבן, ולכן כל זוויותיו ישרות:

נתון גם:

שתי זוויות במשולש $ABE$ שוות לשתי זוויות במשולש $DEG$, ולכן המשולשים דומים (משפט דמיון ז.ז.). התאמת הקודקודים: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $E\leftrightarrow G$.

תשובה: $\angle A=\angle D=90^{\circ }$ (זוויות מלבן) ו־$\angle ABE=\angle DEG$ (נתון), ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז.

לפי התאמת הקודקודים, הצלע $DE$ במשולש $DEG$ מתאימה לצלע $AB$ במשולש $ABE$ (שתיהן ליד הזווית הישרה ומול הזוויות $\angle DGE$ ו־$\angle AEB$):

תשובה: $\frac{4}{5}$

$E$ נמצאת על $AD$, ולכן:

הצלע $DG$ מתאימה לצלע $AE$, ולכן:

תשובה: $DG=84$ ס״מ

שני המשולשים ישרי זווית, ולכן שטח כל אחד מהם הוא מכפלת הניצבים חלקי 2:

השטח הכולל שנצבע באפור:

תשובה: $12,054$ סמ״ר

שטח הדלת (המלבן $ABCD$):

השטח הלבן הוא שטח המלבן פחות השטח האפור:

תשובה: $18,326$ סמ״ר

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $K$ אמצע $AB$:

במשולש ישר הזווית $AKC$ ($\angle K=90^{\circ }$), לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $CK=60$ ס״מ

תשובה: 1050 סמ״ר

יחס הדמיון בין הדגל הגדול לדגל הקטן הוא $5:2$:

תשובה: $DE=14$ ס״מ

גם השוק של הדגל הקטן מתקבלת מיחס הדמיון:

$DF=EF=25$ (משולש שווה שוקיים):

(אפשר גם: היקף הדגל הגדול הוא $62.5+62.5+35=160$, והיחס בין ההיקפים שווה ליחס הדמיון: $160\cdot \frac{2}{5}=64$.)

תשובה: 64 ס״מ

הדגלים תלויים לאורך השרשרת לפי הבסיסים שלהם, בלי רווחים. נעבור לסנטימטרים:

נסמן ב־$n$ את מספר הדגלים הקטנים. אז מספר הדגלים הגדולים הוא $2n$. בסיס של דגל גדול: 35 ס״מ, בסיס של דגל קטן: 14 ס״מ:

תשובה: 75 דגלים קטנים.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $K$ היא אמצע $BC$:

המשולש $ABK$ ישר זווית ($\angle AKB=90^{\circ }$), והיתר הוא השוק $AB=52$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $AK=48$ ס״מ

תשובה: $960$ סמ״ר

יחס הדמיון בין $ABC$ ל־$DEF$ הוא 2, כלומר כל צלע במשולש $ABC$ גדולה פי 2 מהצלע המתאימה במשולש $DEF$. הבסיס $BC$ מתאים לבסיס $EF$:

תשובה: $EF=20$ ס״מ

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

דרך נוספת: הגובה ב־$DEF$ הוא $48:2=24$, ולכן $S_{DEF}=\frac{20\cdot 24}{2}=240$.

תשובה: $240$ סמ״ר

היקף המראה $ABC$:

צלעות המשולש $DEF$ קטנות פי 2, ולכן גם ההיקף קטן פי 2:

סכום ההיקפים:

אורך השרשרת הוא 2 מטרים, כלומר 200 ס״מ. $216>200$, ולכן השרשרת לא מספיקה.

תשובה: לא — צריך 216 ס״מ, והשרשרת באורך 200 ס״מ בלבד.

יחס הדמיון בין המשולש $ABC$ למשולש $DEF$ הוא $3:2$. לפי הזוויות השוות ($\angle B=\angle E=90^{\circ }$, $\angle C=\angle F$), הצלע $BC$ מתאימה לצלע $EF$:

תשובה: $EF=8$ מטרים

במשולש ישר הזווית $DEF$ ($\angle E=90^{\circ }$) היתר הוא $DF=10$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $DE=6$ מטרים

שטח המפרש הקטן (הניצבים $DE$ ו־$EF$):

הצלע $AB$ מתאימה לצלע $DE$:

(אפשר גם: $S_{ABC}=24\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=24\cdot 2.25=54$.)

תשובה: 78 מ״ר

מחיר הבד לשני המפרשים לפני ההנחה:

הנחה של 20% – משלמים 80% מהמחיר:

תשובה: 23,712 שקלים.

שני המשולשים שווי צלעות. במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות, ולכן כל זווית היא:

כלומר בשני המשולשים כל הזוויות הן $60^{\circ }$. שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, ולכן המשולשים דומים (משפט דמיון ז.ז.).

תשובה: בשני המשולשים (שווי הצלעות) כל הזוויות הן $60^{\circ }$, ולכן הם דומים לפי ז.ז.

חוט הכסף של המשולש הגדול הוא ההיקף שלו — שלוש צלעות שוות, כל אחת 6 ס״מ:

תשובה: 18 ס״מ

יחס הדמיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול הוא $2:3$. נסמן ב־$a$ את צלע המשולש הקטן:

תשובה: 4 ס״מ

גם המשולש הקטן מוקף בחוט כסף. היקף המשולש הקטן:

חוט הכסף לתליון אחד הוא סכום שני ההיקפים:

תשובה: 30 ס״מ

במשולש שווה צלעות הגובה הוא גם תיכון, ולכן הוא מחלק את הבסיס לשני חלקים שווים של $4:2=2$ ס״מ. הגובה $h$, חצי הבסיס והצלע יוצרים משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הצלע (4 ס״מ). לפי משפט פיתגורס:

דרך נוספת: $h=4\cdot \sin 60^{\circ }\approx 3.46$.

תשובה: $\sqrt{12}\approx 3.46$ ס״מ

תשובה: בערך $6.93$ סמ״ר

המשולש $ABC$ שווה שוקיים, ו־$BK$ הוא הגובה לבסיס. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן:

המשולש $ABK$ ישר זווית ($\angle AKB=90^{\circ }$). לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $BK=4$ ס״מ

תשובה: 12 סמ״ר

הבסיס $DF$ של החותכן הגדול מתאים לבסיס $AC$ של החותכן הקטן:

תשובה: $1.5$

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

דרך נוספת: הגובה ב־$DEF$ הוא $1.5\cdot 4=6$, ולכן $S_{DEF}=\frac{9\cdot 6}{2}=27$.

תשובה: 27 סמ״ר

רוני השתמשה בחצי משטח הבצק:

נסמן ב־$n$ את מספר העוגיות הקטנות. מספר העוגיות הגדולות שווה לו, $n$. כל זוג של עוגייה קטנה ועוגייה גדולה תופס $12+27=39$ סמ״ר:

תשובה: 7 עוגיות גדולות ו־7 עוגיות קטנות.

נשווה זוויות במשולשים $CBE$ ו־$ABD$:

• $\angle BCE=\angle BAD=90^{\circ }$ (נתון: $EC\perp BC$ ו־$AD\perp AB$).
• $\angle CBE=\angle ABD$ (נתון).

שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, ולכן המשולשים דומים (משפט דמיון ז.ז.):

תשובה: $\angle C=\angle A=90^{\circ }$ ו־$\angle CBE=\angle ABD$, ולכן המשולשים דומים (ז.ז.).

לפי סדר האותיות בדמיון, $CB$ מתאימה ל־$AB$ (הצלעות שבין הזווית הישרה לזווית השווה):

תשובה: $140$

$CE$ מתאימה ל־$AD$:

תשובה: 224 מטרים.

לפי „דרך = מהירות · זמן”, הזמן הוא הדרך חלקי המהירות:

תשובה: 28 שניות.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס $AG$ הוא גם תיכון, ולכן $G$ אמצע $BC$:

במשולש ישר־הזווית $ABG$ ($\angle G=90^{\circ }$) לפי משפט פיתגורס:

אורך קורת העץ $AB$ הוא 57.5 ס״מ.

תשובה: $AB=57.5$ ס״מ

במשולשים $ADF$ ו־$ABG$:

$\angle A$ – זווית משותפת ($\angle DAF=\angle BAG$).

$\angle AFD=\angle AGB=90^{\circ }$ (הקורה $AG$ מאונכת למדפים, כמסומן בסרטוט).

לכן המשולשים דומים לפי משפט הדמיון ז.ז. (שתי זוויות שוות):

תשובה: שתי זוויות שוות (ז.ז.)

גם המשולש $ADE$ שווה שוקיים ו־$AF\perp DE$, ולכן $F$ אמצע $DE$:

הצלעות המתאימות הן $DF$ ו־$BG$:

יחס הדמיון בין המשולש $ADF$ למשולש $ABG$ הוא $\frac{3}{4}$.

תשובה: $\frac{3}{4}$

$AF$ ו־$AG$ הן צלעות מתאימות, ולכן:

אורך $AF$ הוא 34.5 ס״מ.

תשובה: $AF=34.5$ ס״מ

הגובה בין המדף התחתון ($BC$) למדף הפנימי ($DE$) הוא $FG$:

11.5 ס״מ קטן מ־12 ס״מ (גובה הגביע), ולכן אי־אפשר להעמיד את הגביע על המדף התחתון.

תשובה: אי־אפשר

במשולש ישר הזווית $DEF$ ($\angle E=90^{\circ }$) היתר הוא $DF=2.5$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $EF=2$ מטר

הצלע הארוכה ביותר של משטח העץ היא $DF=2.5$, ושל משטח הזכוכית $AC=1.25$:

זה גם יחס הדמיון בין המשולשים.

תשובה: פי 2

יחס הדמיון הוא 2, ולכן כל צלע במשטח הזכוכית קטנה פי 2 מהצלע המתאימה במשטח העץ. הצלע הקצרה ביותר במשטח העץ היא $DE=1.5$, והיא מתאימה ל־$AB$ ($\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$):

תשובה: $AB=0.75$ מטר

$BC$ מתאימה ל־$EF$:

תשובה: $BC=1$ מטר

אורך הפס הוא היקף משטח הזכוכית:

תשובה: 3 מטרים.

מחיר מטר אחד של הפס הוא 32 שקלים, ואורך הפס 3 מטרים (סעיף ג (1)):

תשובה: 96 שקלים.

השוק $DE$ קטנה מהשוק $AB=85$ ב־20%, כלומר היא 80% מ־$AB$:

תשובה: $DE=68$ ס״מ

שני המשולשים שווי שוקיים עם זוויות ראש שוות ($\angle A=\angle D$), ולכן גם זוויות הבסיס שוות, והמשולשים דומים ($△ABC\sim △DEF$).

יחס הדמיון (קטן לגדול):

הבסיס $EF$ מתאים לבסיס $BC=70$:

תשובה: $EF=56$ ס״מ

האורך הכולל של פסי התאורה הוא סכום ההיקפים של שני המשולשים.

היקף המשולש הגדול:

היקף המשולש הקטן:

ביחד:

(בדיקה: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: $192:240=0.8$.)

תשובה: 432 ס״מ

המשולשים הדומים הם $ABE$ ו־$CDE$:

• $\angle ABE=\angle CDE=90^{\circ }$ (השחקנית והרשת מאונכות לקרקע).
• $\angle E$ משותפת לשני המשולשים.

שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, ולכן המשולשים דומים (משפט דמיון ז.ז.). התאמת הקודקודים: $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow E$.

תשובה: $△ABE\sim △CDE$ (ז.ז.: זווית ישרה וזווית $E$ משותפת).

המשולש $ABE$ ישר זווית ($\angle B=90^{\circ }$), והיתר הוא $AE=5.85$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $BE=5.4$ מטרים

תשובה: $DE=2.16$ מטרים

במשולשים הדומים, יחס הצלעות המתאימות שווה:

תשובה: $CD=0.9$ מטרים