מצגת הסבר – דמיון משולשים

12 שקפים · הוכחת דמיון (ז.ז.), יחס הדמיון, פיתגורס ושטחים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

דמיון משולשים

מצגת הסבר – מההתחלה ועד שאלת בגרות מלאה

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35371כיתה י״אלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353711 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה יש מצב מהחיים – מדרגות נעות, מפרשים, גג של בית – ובו שני משולשים באותה צורה וגודל שונה.

להוכיח שהמשולשים דומים (ז.ז.)
להתאים צלעות ולמצוא את יחס הדמיון $k$
למצוא צלע חסרה בעזרת $k$
להשתמש במשפט פיתגורס
לחשב שטחים והיקפים

הרעיון

משולשים דומים = אותה צורה

כל הזוויות שוות, וכל הצלעות גדלות פי $k$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353712 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

מה זה משולשים דומים?

שני משולשים דומים אם:

הזוויות שלהם שוות בהתאמה;
היחס בין כל שתי צלעות מתאימות שווה – זה יחס הדמיון $k$ .

k = \frac{A B}{D E} = \frac{9}{6} = \frac{B C}{E F} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

כותבים: $△ A B C \sim △ D E F$ – לפי סדר הקודקודים המתאימים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353713 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון – ומה צריך לזכור

📘 מהנוסחאון

משפט פיתגורס:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$c$ – היתר, $a$ ו־ $b$ – הניצבים

שטח משולש:

$S =$ צלע · גובה לאותה צלע2

לזכור (לא בנוסחאון)

ז.ז. – שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים.
יחס הדמיון $k$ = היחס בין צלעות מתאימות.
היחס בין ההיקפים שווה ל־ $k$ .
היחס בין השטחים שווה ל־ $k^{2}$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353714 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

איך מוכיחים דמיון? – שתי זוויות שוות

נתון: $D E ∥ B C$

$∠ A$ – משותפת

$∠ A D E = ∠ A B C$ – זוויות מתאימות

מוצאים שתי זוויות שוות. הנימוקים שחוזרים בבגרות:

זווית משותפת לשני המשולשים
זוויות ישרות – שני עמודים מאונכים לקרקע
זוויות מתאימות או מתחלפות בין ישרים מקבילים
זוויות קודקודיות – כשהמשולשים „בצורת שעון חול”
משולש שווה צלעות – כל הזוויות $6 0^{\circ}$

מסיימים במשפט: „לכן המשולשים דומים לפי ז.ז.”

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353715 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

התאמת הצלעות

צלעות מתאימות נמצאות מול זוויות שוות. הכי בטוח – לפי סדר הקודקודים בכתיבת הדמיון:

$△ A B C \sim △ A D E$

במשולש הגדול	$A B$	$B C$	$A C$
במשולש הקטן	$A D$	$D E$	$A E$

k = \frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E} = \frac{A C}{A E}

טיפ

במשולש ישר זווית: היתר מתאים ליתר (שניהם מול הזווית הישרה).

תמיד כדאי לרשום את הגדול במונה – אז $k > 1$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353716 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

השיטה – צעד אחר צעד

מסמנים בשרטוט את הנתונים.
מוכיחים דמיון (ז.ז.) ורושמים את סדר הקודקודים.
מוצאים זוג צלעות מתאימות ששתיהן ידועות ← $k$ .
צלע חסרה: משוואה עם $k$ (כופלים או מחלקים ב־ $k$ ).
אם צריך – פיתגורס במשולש ישר זווית, או חיסור קטעים.

דוגמה

$k = \frac{3}{2}, B C = 6.75$

מצאו את $D E$ :

\frac{B C}{D E} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{6.75}{D E} = 1.5

D E = \frac{6.75}{1.5} = 4.5

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353717 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

המדרגות הנעות $A B$ נתמכות בשני עמודים המאונכים לקרקע: $B C$ ו־ $D E$ .
נתון (במטרים): $A C = 9, B C = 6.75, A D = 7.5$

מהו אורך המדרגות $A B$ ?

פיתגורס במשולש $A B C$ (‏ $∠ C = 9 0^{\circ}$ ):

A B^{2} = 9^{2} + 6.7 5^{2} = 126.5625

A B = 11.25

הוכיחו: $△ A B C \sim △ A D E$

$∠ A$ – משותפת.
$∠ A E D = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ (העמודים מאונכים לקרקע).
לכן המשולשים דומים לפי ז.ז.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353718 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

ג1

מהו יחס הדמיון?

היתרים $A B$ ו־ $A D$ מתאימים:

k = \frac{A B}{A D} = \frac{11.25}{7.5} = \frac{3}{2}

ג2

מהו אורך העמוד $D E$ ?

\frac{B C}{D E} = \frac{3}{2} \Rightarrow D E = \frac{6.75}{1.5} = 4.5

4.5 מטרים

מה המרחק $E C$ בין שני העמודים?

גם $A C$ ו־ $A E$ מתאימות:

\frac{A C}{A E} = \frac{3}{2} \Rightarrow A E = \frac{9}{1.5} = 6

E C = A C - A E = 9 - 6 = 3

3 מטרים

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353719 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות: מפרשים

בגרות חורף תשפ״ד (2024) · שאלה 3

שני מפרשים דומים: $△ A B C \sim △ D E F$ , ויחס הדמיון $3 : 2$ .
$∠ B = ∠ E = 9 0^{\circ}$
נתון (במטרים): $B C = 12, D F = 10$

\frac{B C}{E F} = \frac{3}{2} \Rightarrow E F = \frac{12 \cdot 2}{3} = 8

פיתגורס במשולש $D E F$ :

D E^{2} + 8^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow D E = 6

שטח שני המפרשים:

S_{D E F} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24

A B = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9, S_{A B C} = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54

24 + 54 = 78

או: $S_{A B C} = 24 \cdot (\frac{3}{2})^{2} = 54$

בד: 380 ש״ח למ״ר, 20% הנחה:

78 \cdot 380 \cdot 0.8 = 23, 712

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537110 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

מתאימים צלעות לפי הזוויות, לא לפי איך שהשרטוט נראה.
בהוכחה – שתי זוויות עם נימוק לכל אחת.
יחס הדמיון – רק בין צלעות מתאימות.

$A E$ הוא חלק מ־ $A C$ : את $E C$ מוצאים בחיסור.
שטחים: היחס הוא $k^{2}$ , לא $k$ .
פיתגורס – רק במשולש ישר זווית, והיתר מול הזווית הישרה.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537111 / 12

בס״דדמיון משולשים · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

במשולש $A B C$ הנקודה $D$ על $A B$ והנקודה $E$ על $A C$ , כך ש־ $D E ∥ B C$ .
נתון: $A D = 4, A B = 10, D E = 3$

הוכיחו ש־ $△ A B C \sim △ A D E$ .
מהו יחס הדמיון?
מהו אורך $B C$ ?
שטח $△ A D E$ הוא 6. מהו שטח $△ A B C$ ?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$∠ A$ – משותפת
$∠ A D E = ∠ A B C$ – מתאימות
לכן דומים לפי ז.ז.
$k = \frac{10}{4} = 2.5$
$B C = 3 \cdot 2.5 = 7.5$
$6 \cdot 2. 5^{2} = 6 \cdot 6.25 = 37.5$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537112 / 12

› לכל המצגות