הסתברות

בקלמר 6 עפרונות ו־18 עטים, כלומר 24 כלי כתיבה. ההסתברות להוציא עיפרון בפעם אחת:

ההוצאה היא עם החזרה, לכן שתי ההוצאות בלתי תלויות, ומכפילים:

(A – הוצאת עיפרון.)

תשובה: $\frac{1}{16}$

ההסתברות להוציא עט: $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$. בדיוק עט אחד – שתי אפשרויות: עט ואחריו עיפרון, או עיפרון ואחריו עט:

תשובה: $\frac{3}{8}$

„לפחות עט אחד” הוא המאורע המשלים של „שני עפרונות” (סעיף א):

תשובה: $\frac{15}{16}$

ביום השני בקלמר $6-1=5$ עפרונות ו־$18-3=15$ עטים, כלומר 20 כלי כתיבה. ההסתברות להוציא עיפרון:

זו אותה הסתברות כמו ביום הראשון, ולכן גם ההסתברות להוציא עיפרון בשתי ההוצאות היא:

הטענה אינה נכונה: ההסתברות ביום השני שווה להסתברות ביום הראשון (סעיף א).

תשובה: לא – ההסתברות שווה ($\frac{1}{16}$)

בכל יום הגלים יהיו מאחד משלושת הסוגים בלבד, ולכן סכום ההסתברויות של שלושת הסוגים הוא 1:

(נסמן: L – גלים נמוכים, M – בינוניים, H – גבוהים.)

תשובה: 0.15

הגלים בכל יום אינם תלויים בגלים ביום האחר, ולכן כופלים את ההסתברויות:

תשובה: 0.36

סוג הגלים זהה בשני הימים אם בשניהם הגלים נמוכים, או בשניהם בינוניים, או בשניהם גבוהים:

תשובה: 0.445

הדר לא גולשת ביום מסוים רק כאשר הגלים נמוכים (הסתברות 0.6). המאורע „גולשת לפחות באחד הימים” משלים את המאורע „לא גולשת באף אחד מהימים”, כלומר הגלים נמוכים בשני הימים:

לפי סעיף ב (1):

תשובה: 0.64

רינת קנתה בסכום כולל של $27+9=36$ שקלים. הסכום הוא בין 30 ל־100 שקלים, ולכן היא מסובבת את הגלגל פעם אחת.

בגלגל 10 גזרות שוות, ומתוכן 3 גזרות של „זכית ב־5 שקלים!”:

תשובה: $0.3$

ניר קנה ב־104 שקלים, יותר מ־100 שקלים, ולכן הוא מסובב את הגלגל פעמיים. הסיבובים בלתי תלויים זה בזה.

ההסתברויות בסיבוב אחד:

• זכייה ב־10 שקלים: $\frac{2}{10}=0.2$
• זכייה ב־5 שקלים: $\frac{3}{10}=0.3$
• לא זכית: $\frac{5}{10}=0.5$

זכייה של בדיוק 20 שקלים אפשרית רק אם בשני הסיבובים יוצא „זכית ב־10 שקלים!”:

תשובה: $0.04$

יש שלוש דרכים לזכות בדיוק ב־10 שקלים בשני סיבובים:

• 10 שקלים בסיבוב הראשון ו„לא זכית” בשני: $0.2\cdot 0.5=0.1$
• „לא זכית” בסיבוב הראשון ו־10 שקלים בשני: $0.5\cdot 0.2=0.1$
• 5 שקלים בכל אחד מהסיבובים: $0.3\cdot 0.3=0.09$

אלה מאורעות זרים, ולכן מחברים:

תשובה: $0.29$

איתן קנה ב־36 שקלים (בין 30 ל־100), ולכן הוא מסובב את הגלגל פעם אחת בלבד.

בסיבוב אחד אפשר לזכות רק ב־0, ב־5 או ב־10 שקלים. אין גזרה של 15 שקלים, ולכן זכייה ב־15 שקלים היא מאורע בלתי אפשרי:

תשובה: $0$ — איתן מסובב פעם אחת בלבד, ובסיבוב אחד אי אפשר לזכות ב־15 שקלים.

מספר השירים בספרדית:

ענת בוחרת שיר אחד באקראי מתוך 72 שירים:

תשובה: $\frac{7}{36}\approx 0.194$

ענת ושקד בוחרות כל אחת בנפרד מתוך כל הרשימה, ולכן הבחירות בלתי תלויות.

ההסתברות שאחת בוחרת שיר בעברית:

לפי כלל המכפלה לאירועים בלתי תלויים:

תשובה: $\frac{361}{1296}\approx 0.279$

שתיהן בוחרות שיר באותה שפה: שתיהן בעברית, או שתיהן באנגלית, או שתיהן בספרדית.

נחבר את שלוש האפשרויות:

תשובה: $\frac{85}{216}\approx 0.394$

בדיוק אחת בוחרת שיר בעברית: ענת בעברית ושקד לא, או ענת לא ושקד בעברית.

ההסתברות לשיר שאינו בעברית:

לכן:

תשובה: $\frac{323}{648}\approx 0.498$

בכרטיס 9 ריבועים, ומתחת ל־3 מהם יש פרס (2 „משקה” ו־1 „מגש פיצה”). אסף מגרד ריבוע אחד בלבד:

תשובה: $\frac{1}{3}$

ההסתברות שאחד מהם זוכה במגש פיצה היא $\frac{1}{9}$ (ריבוע אחד מתוך 9). לכל אחד כרטיס משלו, ולכן המאורעות בלתי תלויים, וכופלים:

תשובה: $\frac{1}{81}\approx 0.012$

הסתברות לזכות במשקה: $\frac{2}{9}$; הסתברות לזכות בפיצה: $\frac{1}{9}$.

יש שתי אפשרויות: אסף בפיצה וחגי במשקה, או אסף במשקה וחגי בפיצה:

תשובה: $\frac{4}{81}\approx 0.049$

נשתמש במאורע המשלים: „אף אחד מהם לא זוכה בפרס”. ההסתברות שאחד מהם לא זוכה היא $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$:

ההסתברות ששניהם לא זוכים:

תשובה: $\frac{5}{9}\approx 0.556$

אורית זוכה ב־80 נקודות או יותר אם היא קולעת לאזור 80 או לאזור 100. אלה מאורעות זרים, ולכן מחברים:

תשובה: $\frac{2}{3}$

שתי הקליעות בלתי תלויות זו בזו, ולכן מכפילים את ההסתברויות:

תשובה: $\frac{1}{36}$

אורית זוכה באותו מספר נקודות בשתי הפעמים אם שתי הקליעות הן לאותו אזור. יש ארבע אפשרויות זרות:

• 100 ו־100: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
• 80 ו־80: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$
• 60 ו־60: $\frac{1}{36}$
• 40 ו־40: $\frac{1}{36}$

תשובה: $\frac{1}{3}$

סכום של 160 נקודות מתקבל בשלוש דרכים:

• 100 בפעם הראשונה ו־60 בשנייה: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$
• 60 בפעם הראשונה ו־100 בשנייה: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$
• 80 בשתי הפעמים: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

תשובה: $\frac{7}{36}$

כל מצביע בחר באחד משלושת המועמדים, ולכן סכום האחוזים הוא 100%:

תשובה: 0.2

הבחירה של מצביע אחד אינה תלויה בבחירה של המצביע השני, ולכן כופלים:

תשובה: 0.2025

שניהם בחרו באותו מועמד אם שניהם בחרו במועמד א׳, או שניהם במועמד ב׳, או שניהם במועמד ג׳:

תשובה: 0.365

יש שתי אפשרויות: הראשון בחר במועמד א׳ והשני במועמד ב׳, או הראשון במועמד ב׳ והשני במועמד א׳:

תשובה: 0.315

בגלגל א' שלוש גזרות שוות, כל אחת בהסתברות $\frac{1}{3}$. מספר גדול מ־1 הוא 2 או 3:

תשובה: $\frac{2}{3}$

ההסתברות שגלגל א' ייעצר על 2 היא $\frac{1}{3}$, וההסתברות שגלגל ב' ייעצר על 2 היא $\frac{1}{4}$. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן:

תשובה: $\frac{1}{12}$

המספרים המשותפים לשני הגלגלים הם 1 ו־2 בלבד (בגלגל א' אין 4 ובגלגל ב' אין 3).

• שניהם על 1: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
• שניהם על 2: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

תשובה: $\frac{1}{4}$

סכום של 5 מתקבל בשתי דרכים:

• גלגל א' על 1 וגלגל ב' על 4: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
• גלגל א' על 3 וגלגל ב' על 2: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

(האפשרות 2+3 אינה קיימת, כי בגלגל ב' אין 3.)

תשובה: $\frac{1}{6}$

מספר העטים השחורים:

תשובה: $\frac{4}{9}\approx 0.444$

לילך מחזירה את העט לקלמר, ולכן בכל הוצאה יש שוב 18 עטים, מהם 6 כחולים. ההוצאות בלתי תלויות:

תשובה: $\frac{1}{9}\approx 0.111$

שני העטים באותו צבע: שניהם כחולים, או שניהם אדומים, או שניהם שחורים:

תשובה: $\frac{29}{81}\approx 0.358$

יש שתי אפשרויות: קודם אדום ואחר כך כחול, או קודם כחול ואחר כך אדום:

תשובה: $\frac{4}{27}\approx 0.148$

בשק א' יש 32 כדורים, מתוכם 14 אדומים, ולכן מספר הכדורים הכחולים:

תשובה: $\frac{9}{16}$

בשק ב' יש 35 כדורים, מתוכם 20 אדומים, ולכן ההסתברות להוציא ממנו כדור אדום היא $\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$.

ההוצאה משק א' וההוצאה משק ב' בלתי תלויות, ולכן מכפילים:

תשובה: $\frac{9}{28}$

זו הוצאה ללא החזרה. בהוצאה הראשונה יש 6 כדורים סגולים מתוך 15:

אחרי שהוצאנו כדור סגול ולא החזרנו אותו, נשארו 14 כדורים, מתוכם 5 סגולים:

תשובה: $\frac{1}{7}$

במעטפה 4 פתקים, ורק על אחד מהם רשום 2:

תשובה: $\frac{1}{4}$

חני מחזירה את הפתק, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות, ובכל פעם ההסתברות להוציא 1 היא $\frac{1}{4}$:

תשובה: $\frac{1}{16}$

סכום של 4 מתקבל בשלוש דרכים (בכל אחת מהן ההסתברות היא $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$):

• 1 ואחר כך 3
• 3 ואחר כך 1
• 2 ואחר כך 2

תשובה: $\frac{3}{16}$

במעטפה נשארו 3 פתקים: 0, 1, 3. בכל הוצאה ההסתברות לכל פתק היא $\frac{1}{3}$ (יעל מחזירה את הפתק).

סכום של 4 מתקבל רק בשתי דרכים (אין יותר פתק 2):

• 1 ואחר כך 3: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
• 3 ואחר כך 1: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$

תשובה: $\frac{2}{9}$

לקובייה 6 פאות, ועל 5 מהן רשום המספר 4:

תשובה: $\frac{5}{6}$

הסכום יהיה 8 רק אם בשתי ההטלות התקבל 4 ($4+4=8$). ההטלות בלתי תלויות:

תשובה: $\frac{25}{36}\approx 0.694$

הסכום יהיה 0 אם התקבלו $4$ ו־$-4$ (בסדר כלשהו): 4 בהטלה הראשונה ו־$-4$ בשנייה, או $-4$ בראשונה ו־4 בשנייה:

תשובה: $\frac{5}{18}\approx 0.278$

המכפלה 16 מתקבלת כאשר שני המספרים שווים: $4\cdot 4=16$ או $(-4)\cdot (-4)=16$ (מינוס כפול מינוס – פלוס):

תשובה: $\frac{13}{18}\approx 0.722$

בגלגל 6 גזרות שוות, והמספר 9 רשום על גזרה אחת:

תשובה: $\frac{1}{6}$

המספר 8 רשום על 2 גזרות מתוך 6:

תשובה: $\frac{1}{3}$

המספרים האי־זוגיים בגלגל הם 7 ו־9. המספר 7 רשום על 3 גזרות והמספר 9 על גזרה אחת – יחד 4 גזרות מתוך 6:

(או בעזרת המאורע המשלים: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.)

תשובה: $\frac{2}{3}$

שני הסיבובים בלתי תלויים, ולכן נכפול את ההסתברויות:

תשובה: $\frac{1}{9}$

ההסתברויות לסיבוב אחד:

הסכום 16 מתקבל בשלוש דרכים: 7 ואחר כך 9, 9 ואחר כך 7, או 8 בשתי הפעמים.

תשובה: $\frac{5}{18}$

במעטפה 10 פתקים: פתק אחד „ארוחת בוקר”, 3 פתקים „גלידה”, ושאר הפתקים ריקים:

המשתתף לא זוכה בפרס אם הוציא פתק ריק:

תשובה: 0.6

ההסתברות לזכות בארוחת בוקר: $\frac{1}{10}=0.1$. ההסתברות לזכות בגלידה: $\frac{3}{10}=0.3$.

לכל אחד מעטפה משלו, ולכן ההוצאות בלתי תלויות, וכופלים:

תשובה: 0.03

יש שתי אפשרויות: רמי בארוחת בוקר ואמיר בגלידה, או רמי בגלידה ואמיר בארוחת בוקר:

תשובה: 0.06

ההסתברות לא לזכות בארוחת בוקר: $1-0.1=0.9$.

בדיוק אחד מהם זוכה בארוחת בוקר: רמי זוכה ואמיר לא, או אמיר זוכה ורמי לא:

תשובה: 0.18

ברמזור יש אור ירוק או אור אדום. ההסתברות לאור ירוק ברמזור הראשון היא 0.6, ולכן ההסתברות לאור אדום היא המשלים:

תשובה: 0.4

תומר חוצה את שני הכבישים ללא עצירה אם בשני הרמזורים יש אור ירוק. הרמזורים בלתי תלויים, ולכן מכפילים:

תשובה: 0.18

תומר עוצר ברמזור הראשון – אור אדום (0.4), ולא עוצר ברמזור השני – אור ירוק (0.3):

תשובה: 0.12

„עוצר ברמזור אחד לפחות” הוא המאורע המשלים ל„לא עוצר באף רמזור” – כלומר לחציית שני הכבישים ללא עצירה (סעיף ב):

(אפשר גם לחבר את שלושת המקרים:)

תשובה: 0.82

בארנק 10 שטרות, ורק אחד מהם הוא שטר של 200 שקלים:

תשובה: $0.1$

שטר מספיק לתשלום של 45 שקלים אם ערכו 45 שקלים או יותר — שטר של 50 או של 200 שקלים. יש $4+1=5$ שטרות כאלה:

תשובה: $0.5$

כדי לשלם 250 שקלים בשני שטרות, אחד מהם חייב להיות שטר ה־200 (גם שני שטרות של 50 נותנים רק 100). השטר השני צריך להיות לפחות 50 שקלים, כלומר שטר של 50 ($200+20=220$ לא מספיק).

זו הוצאה ללא החזרה: אחרי השטר הראשון נשארים 9 שטרות. יש שני סדרים אפשריים:

• 200 ואחר כך 50: $\frac{1}{10}\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{90}$
• 50 ואחר כך 200: $\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{4}{90}$

תשובה: $\frac{4}{45}$