מצגת הסבר – הסתברות

13 שקפים · „וגם” – כפל, „או” – חיבור, משלים, והוצאה ללא החזרה

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הסתברות

מצגת הסבר – „וגם”, „או”, משלים והוצאה ללא החזרה

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35371כיתה י״אלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353711 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלת ההסתברות בוחרים באקראי (כדור, שיר, קובייה) או שמתרחש משהו בכמה ימים, ושואלים מה הסיכוי.

הסתברות של בחירה אחת: רצויים חלקי כולם
סכום כל האפשרויות הוא 1
„וגם” – כופלים
„או” – מחברים את המקרים
„לפחות אחד” – משלים

מהנוסחאון

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353712 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הסתברות של בחירה אחת

כשכל האפשרויות שוות בסיכוי:

הסתברות = מספר האפשרויות הרצויות חלקי מספר כל האפשרויות

בשק 32 כדורים, 14 אדומים והשאר כחולים. כחולים: $32 - 14 = 18$

ההסתברות להוציא כדור כחול:

\frac{18}{32} = \frac{9}{16}

סכום כל האפשרויות = 1

גלים נמוכים 0.6, בינוניים 0.25 – ואין סוג אחר. גבוהים:

1 - 0.6 - 0.25 = 0.15

וכך גם באחוזים: $100% - 45% - 35% = 20%$ ← הסתברות $0.2$

הסתברות היא תמיד מספר בין 0 ל־1.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353713 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון?

📘 מהנוסחאון – הסתברות

הסתברות של $A$ וגם $B$ , כאשר $A$ ו־ $B$ הם מאורעות בלתי תלויים:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

הסתברות המאורע המשלים ל־ $A$ :

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

בלתי תלויים – התוצאה של אחד לא משפיעה על השני: שתי הטלות של קובייה, מזג האוויר בשני ימים, הוצאה משני שקים שונים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353714 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

„וגם” – כופלים

מחלקים לשלבים: ההוצאה הראשונה, השנייה (או היום הראשון, השני).
מוצאים את ההסתברות בכל שלב.
כופלים.

דוגמה

כחול משק א' ( $\frac{18}{32}$ ) וגם אדום משק ב' (20 מתוך 35):

\frac{18}{32} \cdot \frac{20}{35} = \frac{9}{28}

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 2

הוצאה ללא החזרה

אחרי שהוצאנו כדור ולא החזרנו – בשלב השני יש כדור אחד פחות.

15 כדורים, 6 סגולים. שני סגולים:

\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}

שימו לב: בשלב השני גם המונה וגם המכנה קטנים ב־1.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353715 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

„או” – מחברים את המקרים

רושמים את כל המקרים שמתאימים לשאלה.
מחשבים כל מקרה (לרוב – כפל).
מחברים.

„אותו סוג בשני הימים”

נמוכים־נמוכים, או בינוניים־בינוניים, או גבוהים־גבוהים:

0. 6^{2} + 0.2 5^{2} + 0.1 5^{2}

= 0.36 + 0.0625 + 0.0225 = 0.445

„בדיוק אחד מהשניים”

הראשון בחר במועמד א׳ (0.45) והשני במועמד ב׳ (0.35), או להפך:

0.45 \cdot 0.35 + 0.35 \cdot 0.45

= 0.315

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 2

שני סדרים ← שני מקרים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353716 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

„לפחות אחד” – המשלים

„לפחות באחד הימים” = ביום הראשון, או בשני, או בשניהם – שלושה מקרים.

המשלים שלו הוא מקרה אחד: „באף יום לא”.

הסתברות „לפחות פעם אחת” = 1 פחות הסתברות „אף פעם”

גולשים רק כשהגלים לא נמוכים. לא גולשים בשני הימים ← נמוכים בשניהם:

1 - 0.6 \cdot 0.6 = 1 - 0.36 = 0.64

המסלול המודגש – „נמוכים בשני הימים”

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353717 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

עץ – דרך לסדר את המקרים

כל שלב – עמודה של ענפים. על כל ענף רושמים את ההסתברות שלו.
הסתברויות הענפים שיוצאים מאותה נקודה – סכומן 1.
לאורך מסלול – כופלים („וגם”).
בין מסלולים – מחברים („או”).

שני סגולים:

\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{7}

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353718 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 2

בכל יום הגלים בחוף הם נמוכים, בינוניים או גבוהים. ההסתברות לגלים נמוכים היא 0.6, ולגלים בינוניים 0.25. סוג הגלים ביום אחד אינו תלוי בסוג הגלים ביום אחר.

מה ההסתברות לגלים גבוהים ביום מסוים?

P (H) = 1 - 0.6 - 0.25 = 0.15

ב1

מה ההסתברות שבשני ימים הגלים יהיו נמוכים בשניהם?

0.6 \cdot 0.6 = 0.36

ב2

מה ההסתברות שסוג הגלים יהיה זהה בשני הימים?

0. 6^{2} + 0.2 5^{2} + 0.1 5^{2}

= 0.36 + 0.0625 + 0.0225

$0.445$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353719 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 2

הדר גולשת בכל יום שבו הגלים אינם נמוכים. מה ההסתברות שתגלוש לפחות באחד משני הימים?

המשלים: „לא גולשת באף יום” = נמוכים בשני הימים (סעיף ב1):

P = 1 - 0.36 = 0.64

$0.64$

בלי משלים היינו צריכים לחשב שלושה מקרים: גולשת רק ביום הראשון, רק בשני, או בשניהם: $0.4 \cdot 0.6 + 0.6 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.4 = 0.64$

איך מזהים משלים?

המילים „לפחות אחד”, „לפחות פעם אחת”, „לא בכל הפעמים”.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537110 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות: שקים וכדורים

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 2

בשק א' יש 32 כדורים, מתוכם 14 אדומים והשאר כחולים. בשק ב' יש 35 כדורים, מתוכם 20 אדומים והשאר כחולים.

כדור כחול משק א':

\frac{32 - 14}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}

כחול משק א' וגם אדום משק ב' (בלתי תלויים):

\frac{18}{32} \cdot \frac{20}{35} = \frac{9}{28}

בקופסה אחרת יש 15 כדורים, 6 מהם סגולים. מוציאים כדור, לא מחזירים אותו, ומוציאים כדור נוסף.

שני הכדורים סגולים:

\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537111 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

„וגם” ← כפל; „או” בין מקרים נפרדים ← חיבור.
„בדיוק אחד” – שני סדרים: הראשון כן והשני לא, או להפך.
„לפחות אחד” ← 1 פחות ההסתברות של „אף אחד”.

ללא החזרה: בשלב השני מספר הכדורים קטן ב־1.
„השאר כחולים” – מחשבים קודם כמה כחולים.
תשובה גדולה מ־1 או שלילית – יש טעות.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537112 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

מטילים קובייה הוגנת פעמיים.

מה ההסתברות שבשתי ההטלות יתקבל 6?
מה ההסתברות שיתקבל 6 לפחות פעם אחת?
מה ההסתברות שיתקבל 6 בדיוק פעם אחת?

בקופסה 10 כרטיסים, 3 מהם זוכים. מוציאים שני כרטיסים בלי החזרה.

מה ההסתברות ששני הכרטיסים זוכים?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
$1 - \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{11}{36}$
$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$
$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537113 / 13

› לכל המצגות