טריגונומטריה

במשולש ישר־הזווית $ABC$ (הזווית $A$ ישרה, העמוד מאונך לקרקע) הסולם $BC=5$ הוא היתר, ו־$CA$ הוא הניצב שליד הזווית $67^{\circ }$:

תשובה: $CA\approx 1.95$ מטרים

$AB$ הוא הניצב שמול הזווית $67^{\circ }$:

תשובה: $AB\approx 4.60$ מטרים

במשולש ישר־הזווית $ABD$ (הזווית $A$ ישרה) הסולם $BD=4.8$ הוא היתר, ו־$AB$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle BDA$:

שימו לב: כדאי להציב את הערך המדויק של $AB$ (ולא את 4.6 המעוגל). עם 4.6 מתקבל $73.4^{\circ }$ – הפרש של עיגול בלבד.

תשובה: $\angle BDA\approx 73.5^{\circ }$

תחילה נמצא את $AD$ במשולש $ABD$, למשל לפי משפט פיתגורס:

הנקודה $A$ נמצאת בין $C$ ל־$D$, לכן:

המרחק בין שתי הנקודות שבהן הוצבו הסולמות הוא כ־3.32 מטרים.

תשובה: $CD\approx 3.32$ מטרים

במשולש ישר הזווית $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$) היתר הוא $AC=6$ מ׳, ו־$BC$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle CAB=32^{\circ }$:

תשובה: בגובה של כ־3.18 מטרים.

$AB$ הוא הניצב שליד הזווית $\angle CAB$:

(אפשר גם לפי פיתגורס: $AB=\sqrt{6^2-3.18^2}\approx 5.09$.)

תשובה: כ־5.09 מטרים.

$D$ נמצאת על המשך הקטע $AB$, ולכן:

במשולש ישר הזווית $CBD$ ($\angle B=90^{\circ }$) $BC$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle CDB$ ו־$BD$ הוא הניצב שלידה:

תשובה: $\angle CDB\approx 24.7^{\circ }$

$AE\perp CD$, ולכן המשולש $AED$ ישר זווית ($\angle AED=90^{\circ }$). היתר הוא $AD=102$, והניצב $AE$ מול הזווית $\angle ADE=34^{\circ }$:

תשובה: $AE\approx 57.04$ ס״מ

במשולש $AED$ נמצא את הניצב $DE$, שליד הזווית:

$E$ נמצאת על $CD$, ולכן:

תשובה: $CE\approx 33.44$ ס״מ

$ABCE$ הוא מלבן: $AB\parallel CE$, ו־$AE$ ו־$BC$ מאונכים ל־$CD$. לכן $AB=CE\approx 33.44$, וגובה הטרפז הוא $AE\approx 57.04$.

שטח טרפז:

תשובה: בערך $4319$ סמ״ר

במשולש ישר הזווית $AEC$ ($\angle AEC=90^{\circ }$) ידועים שני הניצבים: $AE\approx 57.04$ (מול הזווית $\angle ACE$) ו־$CE\approx 33.44$ (ליד הזווית):

תשובה: $\angle ACE\approx 59.62^{\circ }$

במשולש ישר־הזווית $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$): $AC$ הוא הניצב שמול הזווית $68^{\circ }$ ו־$BC$ הוא הניצב שליד הזווית.

אורך $BC$ הוא כ־4.848 מטרים.

תשובה: $BC\approx 4.848$ מטרים

$AB$ הוא היתר במשולש $ABC$, ו־$AC$ הוא הניצב שמול הזווית $68^{\circ }$:

אורך זרוע המנוף הוא כ־12.942 מטרים.

תשובה: $AB\approx 12.942$ מטרים

הנקודה $D$ על המשך $BC$, ולכן:

במשולש ישר־הזווית $ADC$ ($\angle C=90^{\circ }$):

תשובה: $\angle ADC\approx 60.29^{\circ }$

נמצא את $AD$ במשולש $ADC$ לפי משפט פיתגורס:

(אפשר גם: $AD=\frac{12}{\sin 60.29^{\circ }}\approx 13.816$.)

ההפרש בין האורכים:

אורך זרוע המנוף גדל בכ־0.874 מטרים.

תשובה: בכ־0.874 מטרים

$AD\perp BC$, ולכן המשולש $ABD$ ישר זווית ($\angle ADB=90^{\circ }$) ו־$AB$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $AB\approx 48.83$ ס״מ

במשולש ישר הזווית $ABD$: $AD$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle ABD$, ו־$BD$ הוא הניצב שלידה:

תשובה: $\angle ABD\approx 55^{\circ }$

$AC\perp AB$, ולכן המשולש $ABC$ ישר זווית ($\angle BAC=90^{\circ }$) ו־$BC$ הוא היתר. הזווית $\angle ABC$ היא אותה זווית $\angle ABD$, ו־$AB$ הוא הניצב שלידה:

בחישוב מדויק יותר (בלי לעגל את הזווית): במשולש $ABD$ מתקיים $\cos \angle ABD=\frac{28}{48.83}$, ולכן $BC=\frac{48.83^2}{28}\approx 85.14$.

תשובה: $BC\approx 85.14$ ס״מ

$BE$ מאונך לקרקע, ולכן המשולש $ABE$ ישר זווית ($\angle AEB=90^{\circ }$). היתר הוא $AB=4$, והניצב $BE$ נמצא מול הזווית $\angle BAE=37^{\circ }$:

תשובה: $BE\approx 2.407$ מטרים

המשולש $BED$ ישר זווית ($\angle BED=90^{\circ }$), היתר הוא $BD=6.5$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $ED\approx 6.038$ מטרים

נמצא את $AE$ במשולש $ABE$ (הניצב שליד הזווית של $37^{\circ }$):

$E$ נמצאת על $AD$, ולכן:

תשובה: $AD\approx 9.232$ מטרים

במשולש ישר הזווית $BED$, הניצב $BE$ נמצא מול הזווית $\angle BDE$ והיתר הוא $BD$:

$21.73^{\circ }>20^{\circ }$, ולכן המתקן מתאים לדרישת המהנדס.

תשובה: כן — $\angle BDE\approx 21.73^{\circ }$, גדולה מ־$20^{\circ }$.

במשולש ישר הזווית $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$) היתר הוא $AC=20$, ו־$BC$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle CAB=35^{\circ }$:

תשובה: כ־11.47 מטרים.

$AB$ הוא הניצב שליד הזווית $\angle CAB$:

תשובה: כ־16.38 מטרים.

במשולש ישר הזווית $ABD$ ($\angle B=90^{\circ }$) $DB$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle DAB$, ו־$AB$ הוא הניצב שלידה:

(חישבנו עם הערכים שבמחשבון, בלי עיגול ביניים; עם הערכים המעוגלים מתקבל $45.16^{\circ }$ – ההבדל זניח.)

תשובה: $\angle DAB\approx 45.15^{\circ }$

$G$ אמצע $AB$, ולכן:

במשולש ישר הזווית $GBC$ ($\angle B=90^{\circ }$), לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $GC\approx 14.1$ מטרים

$CD\perp AB$, ולכן המשולש $ADC$ ישר זווית ($\angle ADC=90^{\circ }$). היתר הוא $AC=180$, והניצב $CD$ נמצא מול הזווית $\angle CAD=52^{\circ }$:

תשובה: $CD\approx 141.84$ מטרים

במשולש ישר הזווית $BDC$ ($\angle BDC=90^{\circ }$) ידועים שני הניצבים: $CD\approx 141.84$ מול הזווית $\angle CBD$, ו־$BD=45$ ליד הזווית:

תשובה: $\angle CBD\approx 72.4^{\circ }$

נמצא את $AD$ במשולש $ADC$ (הניצב שליד הזווית של $52^{\circ }$):

$D$ נמצאת על $AB$, ולכן:

תשובה: $AB\approx 155.82$ מטרים

מיכל שחתה מ־$B$ ל־$C$ וחזרה באותו מסלול, כלומר שחתה פעמיים את $BC$. במשולש $BDC$, לפי משפט פיתגורס:

סך הכול:

תשובה: בערך $297.62$ מטרים

במשולש ישר הזווית $AED$ ($\angle E=90^{\circ }$) היתר הוא $AD=2$, ו־$DE$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle DAE=46^{\circ }$:

תשובה: $DE\approx 1.44$ מטרים

$DC\parallel AB$, ו־$DE$ ו־$CF$ מאונכים ל־$AB$, ולכן $DEFC$ מלבן ו־$CF=DE\approx 1.44$.

במשולש ישר הזווית $CFB$ ($\angle F=90^{\circ }$), לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $BC\approx 3.33$ מטרים

במשולש $CFB$: $CF$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle CBF$, ו־$BF$ הוא הניצב שלידה:

(בלי עיגול ביניים מתקבל $25.62^{\circ }$.)

תשובה: $\angle CBF\approx 25.62^{\circ }$

$AB=AE+EF+FB$. במלבן $DEFC$: $EF=DC=2.5$.

במשולש $AED$, $AE$ הוא הניצב שליד הזווית $46^{\circ }$:

תשובה: $AB\approx 6.89$ מטרים

$CE\perp AB$, ולכן המשולש $BEC$ ישר זווית ($\angle BEC=90^{\circ }$). היתר הוא $BC=32$, והניצב $CE$ נמצא מול הזווית $\angle CBE=52^{\circ }$:

תשובה: $CE\approx 25.22$ מטרים

$M$ היא אמצע $CE$, ולכן:

המשולש $AEM$ ישר זווית ($\angle AEM=90^{\circ }$), והיתר הוא $AM$. לפי משפט פיתגורס:

שימו לב: בפתרון של גבע מופיעה בשורת התשובה הסופית הקלדה שגויה („6.1 מטרים”), אבל החישוב שם מגיע, כמו כאן, ל־43.85 מטרים.

תשובה: $AM\approx 43.85$ מטרים

במשולש ישר הזווית $AEM$ ידועים שני הניצבים: $ME\approx 12.61$ מול הזווית $\angle MAE$, ו־$AE=42$ ליד הזווית:

תשובה: $\angle MAE\approx 16.71^{\circ }$

המרחק שרץ יואב הוא היקף הטרפז: $AB+BC+CD+DA$.

$ADCE$ הוא מלבן (כל זוויותיו ישרות), ולכן:

נמצא את $BE$ במשולש $BEC$ (הניצב שליד הזווית של $52^{\circ }$):

היקף הטרפז:

תשובה: בערך $160.92$ מטרים

$ABCD$ מלבן, ולכן המשולש $ABC$ ישר זווית ($\angle ABC=90^{\circ }$). הניצב $BC$ נמצא מול הזווית $\angle CAB=35^{\circ }$, והניצב $AB=20$ ליד הזווית:

תשובה: $BC\approx 14$ מטרים

תשובה: בערך 280 מ״ר

$E$ היא אמצע $AB$, ולכן:

המשולש $EBC$ ישר זווית ($\angle EBC=90^{\circ }$). לפי משפט פיתגורס:

אורך הגדר הוא היקף המשולש $EBC$:

תשובה: בערך 41.2 מטרים

תחילה נמצא את $\angle CEB$ במשולש ישר הזווית $EBC$:

$\angle CEB$ היא זווית חיצונית למשולש $AEC$, ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

תשובה: $\angle ACE\approx 19.46^{\circ }$

$BD\perp AC$, ולכן במשולש ישר הזווית $ABD$ ($\angle D=90^{\circ }$) היתר הוא $AB$. לפי משפט פיתגורס:

תשובה: $AB\approx 6.1$ מטרים

במשולש ישר הזווית $BDC$ ($\angle D=90^{\circ }$): $\angle C=40^{\circ }$, $BD$ הוא הניצב שמול הזווית, ו־$BC$ הוא היתר:

תשובה: $BC\approx 7.78$ מטרים

$AC=AD+DC$. במשולש $BDC$, $DC$ הוא הניצב שליד הזווית $40^{\circ }$:

תשובה: $AC\approx 9.46$ מטרים

$BD$ הוא הגובה לצלע $AC$:

תשובה: בערך 23.65 מ״ר

מחיר הרשת:

ועוד העבודה:

שימו לב: במפתח של משרד החינוך מופיע 3,498.6 שקלים – זה מתקבל כשמשתמשים בשטח בלי לעגל אותו ($23.648\dots \cdot 38+2600\approx 3498.6$). ההבדל נובע רק מהעיגול.

תשובה: בערך 3,498.6 שקלים (עם שטח מעוגל ל־23.65: 3,498.7 שקלים).

במשולש ישר הזווית $ABD$ ($\angle B=90^{\circ }$): $AB$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle ADB=35^{\circ }$, ו־$BD=100$ הוא הניצב שלידה:

תשובה: כ־70.02 מטרים.

הסירה נמצאת על הקטע $BD$, ולכן:

במשולש ישר הזווית $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$): $AB$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle ACB$, ו־$BC$ הוא הניצב שלידה:

תשובה: $\angle ACB\approx 43.03^{\circ }$

הספינה שטה 100 מטרים (מ־$D$ עד $B$) במהירות 5 מטרים לשנייה. לפי „דרך = מהירות · זמן”:

תשובה: 20 שניות.

הסירה שטה 75 מטרים (מ־$C$ עד $B$, סעיף ב) במהירות 3 מטרים לשנייה:

הספינה הגיעה אחרי 20 שניות והסירה אחרי 25 שניות, ולכן הספינה הגיעה קודם.

תשובה: הספינה הגיעה קודם (20 שניות לעומת 25 שניות).

$BE$ הוא גובה, ולכן המשולש $ABE$ ישר זווית ($\angle E=90^{\circ }$). היתר הוא $AB=35$, ו־$BE$ הוא הניצב שמול הזווית $\angle A=28^{\circ }$:

תשובה: $BE\approx 16.43$ מטרים

שטח מקבילית = צלע · הגובה לצלע זו. הגובה $BE$ יורד לצלע $AD=60$:

(בלי עיגול הגובה: $60\cdot 35\cdot \sin 28^{\circ }\approx 985.89$.)

תשובה: כ־985.9 מ״ר

במשולש $ABE$, $AE$ הוא הניצב שליד הזווית $\angle A=28^{\circ }$:

(אפשר גם לפי משפט פיתגורס: $AE=\sqrt{35^2-16.43^2}\approx 30.90$.)

תשובה: $AE\approx 30.90$ מטרים

תחילה נמצא את $ED$:

המשולש $BED$ ישר זווית ($\angle E=90^{\circ }$), ו־$BD$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

שימו לב: בפתרון של גבע מופיע $BD\approx 33.41$ (שם נכתב $1,116.5$ במקום $1,116.75$). החישוב המדויק, בלי עיגולי ביניים, נותן $33.416$, כלומר $33.42$ בעיגול. ההבדל זניח – שתי התשובות נכונות.

תשובה: $BD\approx 33.42$ מטרים

$CD$ מאונך ל־$AB$, ולכן המשולש $ADC$ ישר זווית ($\angle ADC=90^{\circ }$). היתר הוא $AC=1265$, והניצב $CD$ נמצא מול הזווית $\angle CAD=59^{\circ }$:

תשובה: בערך 1,084.3 מטרים

$AB=AD+DB$. נחשב כל חלק בנפרד.

במשולש $ADC$, הניצב $AD$ נמצא ליד הזווית של $59^{\circ }$:

במשולש ישר הזווית $BDC$, הניצב $CD$ מול הזווית $\angle DBC=38^{\circ }$ והניצב $BD$ לידה:

שימו לב: בפתרון של גבע מופיע $BD\approx 1387.7$ ולכן $AB\approx 2039.2$ מטרים — הבדל קטן שנובע מעיגול ביניים. בלי עיגול: $BD\approx 1387.86$ ו־$AB\approx 2039.39$.

תשובה: בערך 2,039.4 מטרים

זמן = דרך : מהירות:

המסוק יגיע לנקודה $B$ בערך אחרי 51 שניות. $51<60$, כלומר פחות מדקה — כן, הוא יוכל.

תשובה: כן — הטיסה נמשכת בערך 51 שניות, פחות מדקה.