מצגת הסבר – טריגונומטריה

13 שקפים · סינוס, קוסינוס וטנגנס במשולש ישר זווית: מציאת צלעות וזוויות

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

טריגונומטריה

מצגת הסבר – במשולש ישר זווית

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35371כיתה י״אלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353711 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה יש מצב מהחיים – סולם ליד קיר, מגדלור וספינה, גג – ובו משולש ישר זווית אחד או שניים.

לזהות יתר, ניצב מול הזווית וניצב ליד הזווית
לבחור sin, cos או tan
למצוא צלע כשידועות זווית וצלע
למצוא זווית כשידועות שתי צלעות
לעבור ממשולש אחד לשני דרך צלע משותפת

שלוש נוסחאות

$sin α = \frac{a}{c}$

$cos α = \frac{b}{c}$

$tan α = \frac{a}{b}$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353712 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

השמות של הצלעות

יתר $c$ – מול הזווית הישרה, הצלע הארוכה.
ניצב מול הזווית $a$ – לא נוגע בזווית $α$ .
ניצב ליד הזווית $b$ – יוצא מהזווית $α$ (ואינו היתר).

שימו לב: „מול” ו„ליד” תלויים בזווית שבוחרים. לזווית השנייה – הניצבים מתחלפים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353713 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון?

📘 מהנוסחאון – משולש ישר זווית

sin α = \frac{a}{c}

cos α = \frac{b}{c}

tan α = \frac{a}{b}

$a$ – ניצב מול הזווית $α$

$b$ – ניצב ליד הזווית $α$

$c$ – יתר

משפט פיתגורס:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

📘 מהנוסחאון – שטח משולש

S = \frac{b \cdot c \cdot sin α}{2}

$α$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $b$ ו־ $c$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353714 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

איזו פונקציה לבחור?

מסתכלים על שתי הצלעות שמשתתפות: הידועה והמבוקשת.

הצלעות בשאלה	הפונקציה
יתר + ניצב מול הזווית	$sin$
יתר + ניצב ליד הזווית	$cos$
שני הניצבים	$tan$
שלוש צלעות, בלי זווית	פיתגורס

דוגמה

סולם $B C = 5$ (יתר) נשען על עמוד בזווית $6 7^{\circ}$ עם הקרקע. מבקשים את $C A$ – הניצב ליד הזווית:

יתר + ליד ← $cos$

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353715 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

מציאת צלע

מסמנים את הזווית הידועה ואת הזווית הישרה.
קובעים: יתר, מול, ליד.
בוחרים פונקציה וכותבים את הנוסחה.
מציבים ומבודדים את הצלע.
מחשבים במחשבון (במצב מעלות, DEG).

דוגמה

cos 6 7^{\circ} = \frac{C A}{B C} = \frac{C A}{5}

C A = 5 \cdot cos 6 7^{\circ} \approx 1.95

וגם הגובה $A B$ (מול הזווית):

A B = 5 \cdot sin 6 7^{\circ} \approx 4.60

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353716 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

מציאת זווית

מזהים אילו שתי צלעות ידועות.
כותבים את הנוסחה המתאימה.
מחשבים את המנה (מספר עשרוני).
מוצאים את הזווית במחשבון: $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ או $tan^{- 1}$ .

דוגמה

הסולם $B D = 4.8$ – יתר

הגובה $A B \approx 4.6025$ – מול הזווית

sin ∠ B D A = \frac{4.6025}{4.8} \approx 0.9589

∠ B D A \approx 73. 5^{\circ}

שימו לב: מציבים את הערך המדויק (מהזיכרון של המחשבון), לא את 4.6 המעוגל.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353717 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

שני משולשים עם צלע משותפת

בהרבה שאלות יש שני משולשים ישרי זווית שחולקים צלע (כאן – הגובה $A B$ ).

במשולש שבו יש מספיק נתונים – מוצאים את הצלע המשותפת.
עוברים איתה למשולש השני.
קטע שמורכב משני חלקים – מחברים: $C D = C A + A D$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353718 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

שני סולמות נשענים על עמוד $A B$ המאונך לקרקע. אורך הסולם $B C$ הוא 5 מטרים, והוא יוצר עם הקרקע זווית של $6 7^{\circ}$ . אורך הסולם $B D$ הוא 4.8 מטרים.

מהו המרחק $C A$ ?

$B C$ – יתר, $C A$ – ליד הזווית:

cos 6 7^{\circ} = \frac{C A}{5}

C A = 5 \cdot cos 6 7^{\circ} \approx 1.95

באיזה גובה נוגע הסולם בעמוד ( $A B$ )?

sin 6 7^{\circ} = \frac{A B}{5}

A B = 5 \cdot sin 6 7^{\circ} \approx 4.60

כ־4.60 מטרים

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353719 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

מהי הזווית $∠ B D A$ שהסולם $B D$ יוצר עם הקרקע?

במשולש $A B D$ :

$B D = 4.8$ – יתר, $A B$ – מול הזווית

sin ∠ B D A = \frac{A B}{B D} = \frac{4.6025}{4.8}

\approx 0.9589

∠ B D A \approx 73. 5^{\circ}

מה המרחק $C D$ בין שני הסולמות על הקרקע?

קודם $A D$ , בפיתגורס במשולש $A B D$ :

A D^{2} = 4. 8^{2} - 4.602 5^{2} \approx 1.857

A D \approx 1.363

$A$ בין $C$ ל־ $D$ :

C D = C A + A D \approx 1.954 + 1.363

כ־3.32 מטרים

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537110 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות: מגדלור, ספינה וסירה

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 4

הפנס $A$ של המגדלור נמצא מעל הנקודה $B$ .
ספינה בנקודה $D$ : $B D = 100$ מטר, $∠ A D B = 3 5^{\circ}$
סירה בנקודה $C$ על $B D$ : $C D = 25$ מטר

מהו גובה הפנס $A B$ ?

מול + ליד ← $tan$

A B = 100 \cdot tan 3 5^{\circ} \approx 70.02

מהי הזווית $∠ A C B$ ?

$B C = 100 - 25 = 75$

tan ∠ A C B \approx \frac{70.02}{75} \approx 0.9336

∠ A C B \approx 43.0 3^{\circ}

הספינה שטה ל־ $B$ במהירות 5 מטר לשנייה. לפי דרך = מהירות · זמן:

$\frac{100}{5} = 20$ שניות

הסירה שטה ל־ $B$ במהירות 3 מטר לשנייה:

$\frac{75}{3} = 25$ שניות ← הספינה הגיעה קודם

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537111 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

המחשבון במצב מעלות (DEG).
היתר תמיד מול הזווית הישרה – מזהים אותו ראשון.
„מול” ו„ליד” – ביחס לזווית שבה משתמשים.

מציאת זווית – בעזרת $sin^{- 1}$ , $cos^{- 1}$ או $tan^{- 1}$ .
לא מעגלים באמצע – משתמשים בערך מהמחשבון.
בודקים אם הקטע המבוקש הוא חיבור או חיסור של שני קטעים.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537112 / 13

בס״דטריגונומטריה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

סולם באורך 10 מטרים נשען על קיר ויוצר עם הקרקע זווית של $3 0^{\circ}$ .

באיזה גובה נוגע הסולם בקיר?
מה המרחק בין תחתית הסולם לקיר?

במשולש ישר זווית הניצבים הם 6 ו־8.

מהו אורך היתר?
מהי הזווית שמול הניצב 6?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 5$ מטרים
$10 \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 8.66$ מטרים
$6^{2} + 8^{2} = 10$
$tan α = \frac{6}{8} = 0.75$ ← $α \approx 36.8 7^{\circ}$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537113 / 13

› לכל המצגות