מודל לינארי

כשעוד אף דירה לא שילמה ($x=0$) הסכום בקופה הוא הסכום ההתחלתי: בבניין א' 24,000 שקלים ובבניין ב' 9,600 שקלים. לכן הגרף של בניין א' חותך את ציר הסכום בנקודה גבוהה יותר – זה גרף II.

(וגם: בבניין ב' כל דירה משלמת יותר – 4,600 שקלים – לכן הגרף שלו, גרף I, תלול יותר.)

תשובה: גרף II

סכום התחלתי ועוד 3,000 שקלים לכל דירה ששילמה:

תשובה: $24,000+3,000x$

סכום התחלתי ועוד 4,600 שקלים לכל דירה ששילמה:

תשובה: $9,600+4,600x$

נשווה בין שני הביטויים (נקודת החיתוך של הגרפים):

כאשר 9 דירות שילמו בכל בניין, הסכום בשתי הקופות שווה (51,000 שקלים).

תשובה: 9 דירות

בבניין ב' שילמו 11 דירות.

תשובה: 11 דירות

כל 16 הדירות שילמו. נציב $x=16$ בשני הביטויים:

בניין א':

בניין ב':

רק בקופה של בניין ב' הצטבר סכום שמספיק לתיקון המעלית, לכן טענה III נכונה.

תשובה: טענה III נכונה

בכל חודש מתן משלם 120 שקלים. ב־4 חודשים הוא שילם:

הסכום שנשאר לו:

תשובה: 960 שקלים.

מתן יכול להשתתף בחוג כל עוד יש לו כסף. נחלק את הסכום שהיה לו במחיר לחודש:

תשובה: 12 חודשים.

למתן היו בהתחלה 1,440 שקלים, ובכל חודש הסכום יורד ב־120 שקלים. אחרי $x$ חודשים:

זה ביטוי IV. (בדיקה: עבור $x=4$ מתקבל $1440-480=960$, כמו בסעיף א (1).)

תשובה: ביטוי IV: $1440-120x$

לרועי היו בהתחלה 540 שקלים, ובכל חודש הסכום עולה ב־60 שקלים. אחרי $x$ חודשים:

זה ביטוי III. (ביטוי II, $540x+60$, אינו מתאים: עבור $x=0$ הוא נותן 60 ולא 540.)

תשובה: ביטוי III: $540+60x$

נשווה בין שני הביטויים:

בדיקה: $1440-120\cdot 5=840$ וגם $540+60\cdot 5=840$.

תשובה: כעבור 5 חודשים (לשניהם 840 שקלים).

נקודת החיתוך של הגרפים היא הרגע שבו הסכומים שווים – לפי סעיף ג: כעבור 5 חודשים, והסכום הוא 840 שקלים. לכן במלבן שעל ציר הזמן מתחת לנקודת החיתוך רושמים 5, ובמלבן שעל ציר הסכום רושמים 840.

הגרף היורד (של מתן) פוגש את ציר הזמן כשהכסף של מתן נגמר – לפי סעיף א (2): כעבור 12 חודשים. לכן במלבן הימני שעל ציר הזמן רושמים 12.

תשובה: ציר הסכום: 840; ציר הזמן: 5 (מתחת לנקודת החיתוך) ו־12.

התשלום באולם א': $y=70+60x$, ובאולם ב': $y=130+45x$ ($x$ — מספר השולחנות, $y$ — התשלום בשקלים).

שכר הבסיס הוא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־$y$ (כאשר $x=0$). באולם א' שכר הבסיס (70) נמוך משכר הבסיס באולם ב' (130), ולכן הגרף של אולם א' חותך את ציר ה־$y$ בנקודה הנמוכה יותר — זה גרף II.

בדיקה נוספת: השיפוע באולם א' (60) גדול מהשיפוע באולם ב' (45), וגרף II אכן תלול יותר.

תשובה: גרף II

נחשב את התשלום עבור 4 שולחנות בכל אולם:

באולם א' ובאולם ב' המלצר מרוויח אותו סכום, 310 שקלים (זו נקודת החיתוך של הגרפים). לכן הוא לא ירוויח יותר באולם א'.

תשובה: לא נכון — בשני האולמות הוא ירוויח 310 שקלים.

נחשב את התשלום עבור 5 שולחנות בכל אולם:

$370>355$, ולכן המלצר ירוויח יותר באולם א' (ב־15 שקלים).

תשובה: נכון — באולם א' 370 שקלים ובאולם ב' 355 שקלים.

תומר עובד באולם א' ואחראי ל־6 שולחנות:

תשובה: 430 שקלים

נדב עובד באולם ב'. נסמן ב־$x$ את מספר השולחנות:

תשובה: 8 שולחנות

נסמן ב־$t$ את מספר האירועים שבהם עבד תומר. נדב עבד ב־$t+5$ אירועים.

תומר מקבל 430 שקלים לאירוע (סעיף ג), ונדב מקבל 490 שקלים לאירוע. סך הכול 12,570 שקלים:

בדיקה: $430\cdot 11+490\cdot 16=4730+7840=12,570$ ✓

תשובה: 11 אירועים

הוצאה קבועה של 1,650 שקלים, ועוד 80 שקלים לכל אחד מ־7 הדונמים:

העלות החודשית היא 2,210 שקלים.

תשובה: 2,210 שקלים

ההוצאה הקבועה (1,650) לא תלויה במספר הדונמים, וההוצאה הנוספת היא 80 שקלים כפול מספר הדונמים $x$:

לכן ביטוי I מתאר את העלות החודשית של גידול אפרסקים.

(ביטוי II היה מתאים ל־1,650 שקלים לכל דונם – לא כך בשאלה.)

תשובה: ביטוי I

באותו אופן: הוצאה קבועה של 1,200 שקלים ועוד 130 שקלים לכל דונם:

תשובה: $1,200+130x$

נשווה בין שני הביטויים:

נעביר אגפים:

במטע של 9 דונמים העלויות שוות (בשניהם 2,370 שקלים).

תשובה: $x=9$ (דונמים)

מספר הדונמים בשני המטעים שווה, נסמן אותו ב־$x$. סכום העלויות של שני המטעים הוא 6,210:

במטע האפרסקים של עוזי יש 16 דונמים.

תשובה: 16 דונמים

באפשרות א׳ אין תשלום שנתי קבוע: כשלא קונים כרטיסים לא משלמים כלום, ולכן הגרף יוצא מראשית הצירים. זה גרף II.

(גרף I מתחיל מעל הראשית – זה התשלום השנתי של 180 שקלים באפשרות ב׳.)

תשובה: גרף II.

נחשב את המחיר לשנה עבור 38 כרטיסים בכל אפשרות:

אפשרות א׳:

אפשרות ב׳:

$1130<1520$, ולכן אפשרות ב׳ משתלמת יותר לאפרת.

תשובה: אפשרות ב׳ (1,130 שקלים לעומת 1,520 שקלים).

נבדוק כמה כרטיסים אפשר לקנות ב־640 שקלים בכל אפשרות.

אפשרות א׳:

אפשרות ב׳: אחרי התשלום השנתי נשארים $640-180=460$ שקלים:

אי אפשר לקנות חלק מכרטיס, ולכן באפשרות ב׳ אפשר לקנות 18 כרטיסים (המחיר: $180+25\cdot 18=630$ שקלים).

המספר הגדול ביותר הוא 18.

תשובה: 18 כרטיסים (לפי אפשרות ב׳).

תשלום שנתי של 180 שקלים ועוד 25 שקלים לכל אחד מ־$x$ הכרטיסים:

תשובה: $180+25x$

לפי אפשרות א׳ המחיר של $x$ כרטיסים הוא $40x$. נשווה:

בדיקה: $180+25\cdot 12=480$ וגם $40\cdot 12=480$.

תשובה: 12 כרטיסים

בקנייה באתר האינטרנט משלמים 40 שקלים עבור משלוח גם לפני שקונים פרחים, ולכן הגרף שלה חותך את ציר המחיר בנקודה $(0,40)$ — מעל ראשית הצירים. זה גרף II.

בקנייה בחנות המחיר הוא 0 כשלא קונים פרחים, והגרף יוצא מראשית הצירים — גרף I.

תשובה: גרף II

בחנות כל פרח עולה 7.5 שקלים ואין תוספת, ולכן המחיר של $x$ פרחים הוא:

תשובה: ביטוי 2: $7.5x$

באתר האינטרנט כל פרח עולה 5 שקלים, ונוסף על כך משלוח של 40 שקלים:

תשובה: $5x+40$

נשווה בין שני הביטויים:

בדיקה: $7.5\cdot 16=120$ וגם $5\cdot 16+40=120$ ✓ (זו נקודת החיתוך של הגרפים).

תשובה: 16 פרחים

תשובה: 34 פרחים

נסמן ב־$x$ את מספר הפרחים שענת קנתה בחנות. מספר הפרחים שקנתה באתר האינטרנט שווה לו, $x$.

בחנות שילמה $7.5x$, ובאתר האינטרנט $5x+40$. סך הכול 490 שקלים:

בדיקה:

תשובה: 36 פרחים

נחשב את המחיר של צביעת 32 מ״ר בכל הצעה:

הצעה א׳:

הצעה ב׳:

הצעה ג׳: 1,200 שקלים (תשלום כללי, לא תלוי בשטח).

המחיר הנמוך ביותר: 1,200 שקלים.

תשובה: הצעה ג׳ (1,200 שקלים; א׳ – 1,480, ב׳ – 1,240).

• גרף I הוא קו ישר אופקי – המחיר לא משתנה כשהשטח גדל. זו הצעה ג׳ (תשלום כללי).
• גרפים II ו־III עולים. גרף II עולה תלול יותר (40 שקלים לכל מ״ר) ומתחיל נמוך יותר (200 שקלים) – זו הצעה א׳.
• גרף III עולה פחות תלול (25 שקלים לכל מ״ר) ומתחיל גבוה יותר (440 שקלים) – זו הצעה ב׳.

תשובה: I – הצעה ג׳; II – הצעה א׳; III – הצעה ב׳.

בהצעה א׳ יש תשלום בסיסי של 200 שקלים, ועוד 40 שקלים לכל אחד מ־$x$ המ״ר:

זה ביטוי 2.

תשובה: ביטוי 2: $200+40x$

תשלום בסיסי של 440 שקלים ועוד 25 שקלים לכל מ״ר:

תשובה: $440+25x$

תשובה: 53 מ״ר.

בדיקה: $200+40\cdot 16=840$ וגם $440+25\cdot 16=840$.

תשובה: 16 מ״ר (המחיר בשתי ההצעות: 840 שקלים).

המחיר של הטיסה הוא המחיר כאשר $x=0$ (אפס ימי נופש), כלומר נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־$y$.

בחבילה א' מחיר הטיסה (946 שקלים) נמוך ממחיר הטיסה בחבילה ב' (1,450 שקלים), ולכן הגרף של חבילה א' חותך את ציר ה־$y$ בנקודה הנמוכה יותר — גרף I.

בדיקה נוספת: התוספת היומית בחבילה א' (317) גדולה מזו שבחבילה ב' (293), וגרף I אכן תלול יותר.

תשובה: גרף I

תשובה: $3,799$ שקלים

המחיר הוא מחיר הטיסה ועוד המחיר ליום כפול מספר הימים $x$:

• חבילה א': $946+317x$
• חבילה ב': $1450+293x$

תשובה: חבילה א': $946+317x$; חבילה ב': $1450+293x$

תשובה: 17 ימים

נשווה בין שני הביטויים:

בדיקה: $946+317\cdot 21=7603$ וגם $1450+293\cdot 21=7603$ ✓

תשובה: 21 ימים

בהצעה א׳ המחיר עולה ב־0.5 שקלים על כל קילומטר כבר מהקילומטר הראשון, ולכן הגרף שלה הוא קו ישר אחד שעולה מתחילתו – גרף 1.

(גרף 2 קבוע בהתחלה – זה התשלום של 50 שקלים עד 80 ק״מ בהצעה ב׳ – ורק אחר כך עולה.)

תשובה: גרף 1.

תשובה: 110 שקלים.

50 שקלים ליום ועוד 0.5 שקלים לכל אחד מ־$x$ הקילומטרים:

תשובה: $50+0.5x$

לפי הצעה ב׳, בנסיעה של 120 ק״מ משלמים 50 שקלים על 80 הק״מ הראשונים, ועל כל אחד מ־$120-80=40$ הקילומטרים הנוספים משלמים מחיר קבוע. נסמן אותו ב־$c$.

המחיר זהה בשתי ההצעות, ולפי סעיף ב הוא 110 שקלים:

(בדיקה של האפשרויות האחרות: עם 1.3 מתקבל $50+40\cdot 1.3=102$, ועם 1.6 מתקבל $50+40\cdot 1.6=114$ – לא 110.)

תשובה: אפשרות II: 1.5 שקלים לכל ק״מ נוסף.

אופק שילם יותר מ־50 שקלים, ולכן נסע יותר מ־80 ק״מ. הסכום ששילם על הקילומטרים הנוספים:

מספר הקילומטרים הנוספים:

תשובה: 176 ק״מ.

בתחילת 2020 (כאשר $x=0$) הקופה של בניין ב' הייתה בגירעון של 4,750 שקלים, כלומר הסכום בה היה שלילי ($-4,750$). לכן הגרף שלה חותך את ציר ה־$y$ מתחת לציר ה־$x$ — זה גרף II.

הגרף של בניין א' חותך את ציר ה־$y$ בנקודה $(0,650)$, מעל ציר ה־$x$ — גרף I.

תשובה: גרף II

הסכום בקופה = הסכום בתחילת 2020 + הגידול החודשי כפול מספר החודשים $x$.

• בניין א': התחיל ב־650 וגדל ב־600 בכל חודש: $y=650+600x$ — ביטוי 2.
• בניין ב': התחיל ב־$-4,750$ וגדל ב־960 בכל חודש: $y=-4,750+960x$ — ביטוי 4.

תשובה: בניין א': ביטוי 2 ($y=650+600x$); בניין ב': ביטוי 4 ($y=-4,750+960x$).

נציב $x=5$ בביטוי של בניין ב':

כעבור 5 חודשים יש בקופה 50 שקלים — סכום חיובי, ולכן הקופה כבר לא בגירעון.

תשובה: לא — כעבור 5 חודשים יש בקופה של בניין ב' 50 שקלים.

נשווה בין שני הביטויים:

בדיקה: $650+600\cdot 15=9,650$ וגם $-4,750+960\cdot 15=9,650$ ✓

תשובה: כעבור 15 חודשים

• ישר III אופקי – התשלום לא תלוי במספר השיעורים. זו אפשרות א׳ (סכום כולל של 7,350 שקלים).
• ישר I יוצא מראשית הצירים – כשלא לומדים אף שיעור לא משלמים כלום. זו אפשרות ג׳ (200 שקלים לכל שיעור).
• ישר II מתחיל מעל הראשית – יש תשלום חד־פעמי של 1,280 שקלים עוד לפני השיעור הראשון. זו אפשרות ב׳.

תשובה: I – אפשרות ג׳; II – אפשרות ב׳; III – אפשרות א׳.

• ישר I (אפשרות ג׳, 200 שקלים לשיעור): משוואה (2), $y=200x$.
• ישר II (אפשרות ב׳, 1,280 ועוד 160 לשיעור): משוואה (1), $y=1280+160x$.
• ישר III (אפשרות א׳, סכום קבוע): משוואה (4), $y=7350$.

(משוואה (3), $y=7350x$, אינה מתאימה: לפיה כל שיעור עולה 7,350 שקלים.)

תשובה: I: $y=200x$; II: $y=1280+160x$; III: $y=7350$

נחשב את התשלום בעבור 28 שיעורים בכל אפשרות:

אפשרות א׳: 7,350 שקלים.

אפשרות ב׳:

אפשרות ג׳:

הסכום הנמוך ביותר הוא 5,600 שקלים.

תשובה: אפשרות ג׳ (5,600 שקלים; ב׳ – 5,760, א׳ – 7,350).

בדיקה: $1280+160\cdot 32=6400$ וגם $200\cdot 32=6400$.

תשובה: 32 שיעורים.

נסמן ב־$y$ את מספר דפי המדבקות. 20 בריסטולים עלו:

סך הכול שילמה 120 שקלים:

הגננת קנתה 30 דפי מדבקות.

תשובה: 30 דפי מדבקות

נסמן ב־$x$ את מספר הבריסטולים (וזה גם מספר דפי המדבקות):

הגננת קנתה 24 בריסטולים (ו־24 דפי מדבקות).

תשובה: 24 בריסטולים

נסמן: $x$ – מספר הבריסטולים, $y$ – מספר דפי המדבקות (אותם מספרים בחודש השלישי וברביעי).

בחודש הרביעי מחיר בריסטול עלה ב־20%:

נקבל מערכת משוואות:

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה:

נציב במשוואה הראשונה:

בחודש השלישי קנתה הגננת 30 בריסטולים ו־15 דפי מדבקות.

בדיקה: $3.6\cdot 30+2\cdot 15=108+30=138$ ✓

תשובה: 30 בריסטולים ו־15 דפי מדבקות

על שלושת הקטעים הראשונים משאית משלמת 20 שקלים, ועל כל קטע נוסף 6 שקלים. עודד נסע 6 קטעים, כלומר $6-3=3$ קטעים נוספים:

תשובה: 38 שקלים.

על שלושת הקטעים הראשונים רן שילם 22 שקלים. על הקטעים הנוספים הוא שילם:

כל קטע נוסף עולה 4 שקלים, ולכן מספר הקטעים הנוספים:

תשובה: 10 קטעים.

נסמן ב־$x$ את מספר הקטעים הנוספים (מעבר לשלושת הקטעים הראשונים). המחיר זהה:

מספר הקטעים הכולל:

תשובה: 4 קטעים.

תשובה: 26 שקלים.

בלי המבצע, נסיעה של 8 קטעים במכונית פרטית עולה (5 קטעים נוספים):

$42<49$, ולכן המבצע לא משתלם לעמית.

תשובה: לא. בלי המבצע ישלם 42 שקלים, פחות מ־49 שקלים.

הצעה ראשונה: 28 שקלים לכל אימון:

הצעה שנייה: 120 שקלים קבוע ועוד 13 שקלים לכל אימון:

תשובה: הצעה ראשונה – 140 שקלים; הצעה שנייה – 185 שקלים.

נסמן ב־$x$ את מספר האימונים. התשלום בהצעה הראשונה $28x$, ובהצעה השנייה $120+13x$. נשווה:

בדיקה: $28\cdot 8=224$, וגם $120+13\cdot 8=224$.

תשובה: עבור 8 אימונים.

ההנחה של 20% היא לכל אימון בלבד (לא על התשלום החודשי הקבוע). אחרי ההנחה משלמים 80% ממחיר האימון.

הצעה ראשונה: מחיר אימון $28\cdot 0.8=22.4$:

הצעה שנייה: מחיר אימון $13\cdot 0.8=10.4$:

בשתי ההצעות התשלום 224 שקלים, ולכן המשפט הנכון הוא III.

תשובה: משפט III – בשתי ההצעות משלמים 224 שקלים.

אורי מדבר 100 דקות בחודש. נחשב את התשלום בכל מסלול:

• המסלול הרגיל: $10+0.5\cdot 100=10+50=60$ שקלים.
• המסלול המותאם: $4+0.6\cdot 100=4+60=64$ שקלים.
• מסלול קבוע: 40 שקלים (בלי תוספת לדקות).

תשובה: רגיל: 60 שקלים; מותאם: 64 שקלים; קבוע: 40 שקלים.

• ישר III הוא ישר אופקי — התשלום לא משתנה עם מספר הדקות. זה המסלול הקבוע.
• ישרים I ו־II עולים. ישר II חותך את ציר התשלום גבוה יותר מישר I, כלומר התשלום הקבוע בו גדול יותר (10 שקלים לעומת 4). לכן ישר II הוא המסלול הרגיל וישר I הוא המסלול המותאם.
• בדיקה: ישר I תלול יותר מישר II, ואכן במסלול המותאם המחיר לדקה (0.6 שקל) גבוה מזה שבמסלול הרגיל (0.5 שקל).

תשובה: ישר I — המסלול המותאם; ישר II — המסלול הרגיל; ישר III — המסלול הקבוע.

בכל מסלול: $y$ = התשלום הקבוע + המחיר לדקה $\cdot x$ (מספר הדקות).

• ישר I (מותאם): 4 שקלים ועוד 0.6 לדקה — משוואה (4): $y=4+0.6x$.
• ישר II (רגיל): 10 שקלים ועוד 0.5 לדקה — משוואה (1): $y=10+0.5x$.
• ישר III (קבוע): 40 שקלים — משוואה (3): $y=40$.

משוואה (2), $y=10-0.5x$, מתארת ישר יורד, ולכן היא לא מתאימה לאף אחד מהישרים.

תשובה: I: $y=4+0.6x$ (4); II: $y=10+0.5x$ (1); III: $y=40$ (3).