מצגת הסבר – גדילה ודעיכה

14 שקפים · כמות אחרי זמן, מציאת אחוז השינוי, ומציאת הזמן בניסוי וטעייה

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

גדילה ודעיכה

מצגת הסבר – מההתחלה ועד שאלת בגרות מלאה

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35371כיתה י״אלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353711 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה יש כמעט תמיד שאלה על כמות שגדלה או קטנה באחוז קבוע: חיסכון, מחיר דירה, מספר תושבים, תרופה בגוף.

לזהות: גדילה או דעיכה, ומהו $q$
לחשב כמות אחרי $t$ יחידות זמן
למצוא את אחוז השינוי מתוך שני ערכים
למצוא מתי מגיעים לכמות מסוימת – בניסוי וטעייה
לזהות את הגרף המתאים

הנוסחה של כל הנושא

A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}

כמעט כל סעיף הוא הצבה בנוסחה הזאת.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353712 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מה זה „גדילה באחוז קבוע”?

בכל יחידת זמן הכמות מוכפלת באותו מספר $q$ – לא מוסיפים כל פעם אותו סכום.

דוגמה: 1,000 שקלים גדלים ב־10% בכל שנה ← $q = 1.1$

שנה	0	1	2	3
סכום	1,000	1,100	1,210	1,331

כל שנה: $\cdot 1.1$ . התוספת גדלה: 100, אחר כך 110, אחר כך 121.

גדילה ↗

$q > 1$ – הכמות גדלה (תושבים, חיסכון).

דעיכה ↘

$0 < q < 1$ – הכמות קטנה (מחיר מכונית, תרופה בגוף).

$A_{0}$ היא הכמות בהתחלה ( $t = 0$ ).

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353713 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון?

📘 מהנוסחאון – גדילה ודעיכה

A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}

$q$ – מקדם הגדילה / הדעיכה ליחידת זמן, $t$ – פרק הזמן

q = \frac{100 \pm p}{100}

$p$ – אחוז הגדילה / הדעיכה ביחידת זמן (+ גדילה, − דעיכה)

📘 מהנוסחאון – חזקות

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

כאשר $n$ הוא מספר טבעי ו־ $a \neq = 0$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353714 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מאחוז ל־ $q$ ומ־ $q$ לאחוז

מאחוז ל־ $q$

בשאלה	$q$
גדל ב־4% בשנה	$\frac{100 + 4}{100} = 1.04$
קטן ב־2% בשנה	$\frac{100 - 2}{100} = 0.98$
קטן ב־8% בשנה	$\frac{100 - 8}{100} = 0.92$

מ־ $q$ לאחוז

$q$	פירוש
$1.05$	גדילה של 5%
$0.85$	דעיכה של 15%
$1.2$	גדילה של 20%

„פי” ≠ „אחוז”: „גדל פי 1.07” פירושו $q = 1.07$ , כלומר גדילה של 7%.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353715 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

השיטה: כמות אחרי $t$ יחידות זמן

מוצאים את $A_{0}$ – הכמות בזמן ההתחלה.
גדילה או דעיכה? מחשבים $q = \frac{100 \pm p}{100}$ .
סופרים את $t$ : כמה יחידות זמן עברו מההתחלה. מתחילת 2020 עד תחילת 2026 עברו 6 שנים, כלומר $t = 6$ .
מציבים ב־ $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ ומחשבים במחשבון.
כותבים תשובה עם יחידות (שקלים, תושבים…).

דוגמה

28,500 שקלים, גדילה של 4% בשנה. כמה כעבור 6 שנים?

q = 1.04, t = 6

A_{6} = 28, 500 \cdot 1.0 4^{6}

\approx 36, 061.59

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353716 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מתי? – מציאת $t$ בניסוי וטעייה

כשהשאלה היא „באיזו שנה…”, הנעלם הוא $t$ . מציבים כמה ערכים של $t$ ורושמים כל חישוב בטבלה.

דוגמה: מתי $28, 500 \cdot 1.0 4^{t}$ שווה 33,341?

$t$	הצבה	$A_{t}$
2	$28, 500 \cdot 1.0 4^{2}$	30,825.60
3	$28, 500 \cdot 1.0 4^{3}$	32,058.62
4	$28, 500 \cdot 1.0 4^{4}$	33,340.97

$t = 4$ ← בתחילת שנת 2024

למה טבלה?

לפי תוכנית הלימודים את $t$ מוצאים בניסוי וטעייה, עם פירוט החישוב. תשובה בלי ההצבות עלולה להיחשב ניחוש.

טיפ: אם עברתם את הערך – חזרו ל־ $t$ הקודם. „לראשונה מתחת ל…” – ה־ $t$ הראשון שבו הכמות כבר קטנה יותר.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353717 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מציאת $q$ (ואחוז השינוי) משני ערכים

ידועים הכמות בהתחלה והכמות אחרי $t$ יחידות זמן. הנעלם הוא $q$ :

כותבים משוואה: $A_{0} \cdot q^{t} = A_{t}$
מחלקים ב־ $A_{0}$ : $q^{t} = \frac{A _{t}}{A _{0}}$
מוציאים שורש: $t = 2$ ← שורש ריבועי, $t = 3$ ← שורש שלישי
מ־ $q$ מוצאים את $p$

דוגמה

כמות הנפט: 320 בשנת 2010, ‏370.44 בשנת 2013.

320 \cdot q^{3} = 370.44

q^{3} = 1.157625

q = 3 1.157625 = 1.05

\frac{100 + p}{100} = 1.05 \Rightarrow p = 5

גדילה של 5% בשנה

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 1

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353718 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

איך נראה הגרף?

גדילה: $q > 1$

עולה, וכל שנה עולה יותר.

דעיכה: $0 < q < 1$

יורדת, אבל לא מגיעה ל־0.

הגרף חותך את הציר האנכי ב־ $A_{0}$ . בשאלת „איזה גרף מתאים?” בודקים: עולה או יורדת, ומה הערך ההתחלתי.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353719 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

בתחילת שנת 2020 הופקדו 28,500 שקלים בתוכנית חיסכון. הסכום בתוכנית גדל ב־4% בכל שנה.

כמה כסף היה בתוכנית בתחילת שנת 2026?

$A_{0} = 28, 500, q = \frac{100 + 4}{100} = 1.04, t = 6$

A_{6} = 28, 500 \cdot 1.0 4^{6} \approx 36, 061.59

כ־36,061.59 שקלים

באיזו שנה היו בתוכנית 33,341 שקלים?

28, 500 \cdot 1.0 4^{t} = 33, 341

$t$	$A_{t}$
2	30,825.60
3	32,058.62
4	33,340.97

4 שנים אחרי 2020 ← בתחילת 2024

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537110 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

מחיר מכונית קטן באחוז קבוע בכל שנה. בתחילת 2023 היא עלתה 40,000 שקלים, ובתחילת 2025 – ‏38,416 שקלים.

בכמה אחוזים קטן המחיר בכל שנה?

מ־2023 עד 2025 עברו שנתיים:

40, 000 \cdot q^{2} = 38, 416

q^{2} = 0.9604 \Rightarrow q = 0.98

\frac{100 - p}{100} = 0.98 \Rightarrow p = 2

ב־2% בכל שנה

האם בתחילת 2026 היה בתוכנית החיסכון מספיק כסף כדי לקנות את המכונית?

מחיר המכונית שנה אחרי 2025:

38, 416 \cdot 0.98 = 37, 647.68

בתוכנית (סעיף א): כ־36,061.59 שקלים.

36, 061.59 < 37, 647.68

לא – חסרים כ־1,586 שקלים

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537111 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

עוד שאלת בגרות: מציאת אחוז והמשך

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 1

כמות הנפט שהופקה במדינה (במיליוני טונות) גדלה באחוז קבוע בכל שנה: בשנת 2010 – ‏320, ובשנת 2013 – ‏370.44.

בכמה אחוזים גדלה הכמות בכל שנה?

320 \cdot q^{3} = 370.44 \Rightarrow q^{3} = 1.157625

q = 3 1.157625 = 1.05

ב־5% בכל שנה

מה הכמות בשנת 2014?

A_{4} = 320 \cdot 1.0 5^{4} = 388.962

במדינה שכנה הופקו בשנת 2014 גם 388.962, והכמות קטנה ב־8% בכל שנה. כמה הופקו שם בשנת 2017?

q = \frac{100 - 8}{100} = 0.92, t = 3

A_{3} = 388.962 \cdot 0.9 2^{3} \approx 302.88

בערך 302.88 מיליוני טונות

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537112 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

דעיכה של 8% ← $q = 0.92$ , לא $0.08$ .
$t$ = מספר יחידות הזמן מההתחלה: מ־2023 עד 2025 ← $t = 2$ .
יחידות הזמן: אם האחוז הוא לחודש, $t$ נספר בחודשים.

את $t$ מוצאים בטבלת ניסוי וטעייה – עם כל ההצבות.
כשמוצאים $q$ משני ערכים – מחלקים קודם ב־ $A_{0}$ ורק אחר כך מוציאים שורש.
מעגלים רק בסוף. $q$ מעוגל משנה את התוצאה.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537113 / 14

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

מחיר מכונה היה 5,000 שקלים, והוא קטן ב־20% בכל שנה.

מהו $q$ ?
מה יהיה המחיר כעבור 3 שנים?
כעבור כמה שנים יהיה המחיר לראשונה פחות מ־2,000 שקלים?

מספר המנויים במועדון גדל באחוז קבוע בכל שנה: מ־2,000 ל־2,420 בתוך שנתיים.

בכמה אחוזים גדל מספר המנויים בכל שנה?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$q = \frac{100 - 20}{100} = 0.8$
$5, 000 \cdot 0. 8^{3} = 2, 560$ שקלים
$5, 000 \cdot 0. 8^{4} = 2, 048$
$5, 000 \cdot 0. 8^{5} = 1, 638.4$
כעבור 5 שנים
$q^{2} = \frac{2420}{2000} = 1.21 \Rightarrow q = 1.1$
גדילה של 10% בשנה

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537114 / 14

› לכל המצגות

מצגת הסבר – גדילה ודעיכה

גדילה ודעיכה

מה נלמד?

הנוסחה של כל הנושא

מה זה „גדילה באחוז קבוע”?

גדילה ↗

דעיכה ↘

מה יש בנוסחאון?

מאחוז ל־q ומ־q לאחוז

מאחוז ל־q

מ־q לאחוז

השיטה: כמות אחרי t יחידות זמן

דוגמה

מתי? – מציאת t בניסוי וטעייה

למה טבלה?

מציאת q (ואחוז השינוי) משני ערכים

דוגמה

איך נראה הגרף?

גדילה: q>1

דעיכה: 0<q<1

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

שאלת בגרות פתורה (ג, ד)

עוד שאלת בגרות: מציאת אחוז והמשך

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

מאחוז ל־ $q$ ומ־ $q$ לאחוז

מאחוז ל־ $q$

מ־ $q$ לאחוז

השיטה: כמות אחרי $t$ יחידות זמן

מתי? – מציאת $t$ בניסוי וטעייה

מציאת $q$ (ואחוז השינוי) משני ערכים

גדילה: $q > 1$

דעיכה: $0 < q < 1$