מצגת הסבר – מודל ריבועי

12 שקפים · פרבולה: חיתוך עם הצירים, קודקוד, עלייה וירידה

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

מודל ריבועי

מצגת הסבר – פרבולה במצב מהחיים

מתמטיקה 3 יח״לשאלון 35371כיתה י״אלפי הנוסחאון

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353711 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

מה נלמד?

פונקצייה ריבועית מתארת מסלול של זרם מים, כדור או גשר. שואלים על:

המקדמים $a$ , $b$ , $c$ וצורת הפרבולה
נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$
הקודקוד – הגובה המקסימלי
מתי הפונקצייה עולה ומתי יורדת
ההתאמה לגרף

הצורה הכללית

y = a x^{2} + b x + c

$a \neq = 0$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353712 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

המקדמים $a$ , $b$ , $c$

$a$ – המקדם של $x^{2}$
$b$ – המקדם של $x$
$c$ – המספר החופשי (הגובה כש־ $x = 0$ )

הפונקצייה	$a$	$b$	$c$
$f (x) = - x^{2} + 3 x$	$- 1$	$3$	$0$
$y = x^{2} - 6 x + 5$	$1$	$- 6$	$5$
$y = 2 x^{2} - 8$	$2$	$0$	$- 8$

שימו לב: הסימן שלפני המספר שייך למקדם. ‏ $- x^{2}$ ← $a = - 1$ . אין מספר חופשי? $c = 0$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353713 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

„מחייכת” או „בוכה”? – לפי הסימן של $a$

$a > 0$ – „מחייכת” ∪

לקודקוד יש מינימום – הנקודה הנמוכה ביותר.

$a < 0$ – „בוכה” ∩

לקודקוד יש מקסימום – הגובה המקסימלי.

זרם מים, כדור שנזרק, קשת של גשר – כולם „בוכים”: $a < 0$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353714 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

מה יש בנוסחאון?

📘 מהנוסחאון – אלגברה

משוואה ריבועית: $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)$

השורשים:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

פונקצייה ריבועית: $y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$

ערך ה־ $x$ של קודקוד הפרבולה:

x = \frac{- b}{2 a}

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353715 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

חיתוך עם ציר ה־ $x$

על ציר ה־ $x$ הגובה הוא אפס ← מציבים $y = 0$ ופותרים.

כשאין מספר חופשי ( $c = 0$ ) – גורם משותף

- x^{2} + 3 x = 0

x (- x + 3) = 0

מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים אפס:

$x = 0$ או $x = 3$

בכל מקרה – נוסחת השורשים

$y = x^{2} - 6 x + 5$

$a = 1, b = - 6, c = 5$

x_{1, 2} = \frac{6 \pm 36 - 20}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}

$x_{1} = 5, x_{2} = 1$

הנקודות: $(1, 0)$ ו־ $(5, 0)$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353716 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

הקודקוד – הגובה המקסימלי

מזהים את $a$ ואת $b$ .
$x = \frac{- b}{2 a}$ (מהנוסחאון).
מציבים את ה־ $x$ בפונקצייה ← $y$ של הקודקוד.

x = \frac{- 3}{2 \cdot ( - 1 )} = 1.5

f (1.5) = - 1. 5^{2} + 3 \cdot 1.5 = 2.25

הקודקוד: $(1.5, 2.25)$

בדיקה: הקודקוד באמצע בין נקודות החיתוך 0 ו־3.

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353717 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

עלייה וירידה

„בוכה” ( $a < 0$ )

עולה משמאל לקודקוד, יורדת מימינו.

$f (x) = - x^{2} + 3 x$

הקודקוד: $x = 1.5$

עולה כאשר $x < 1.5$

יורדת כאשר $x > 1.5$

„מחייכת” ( $a > 0$ )

יורדת משמאל לקודקוד, עולה מימינו.

$y = x^{2} - 6 x + 5$

הקודקוד: $x = 3$

יורדת כאשר $x < 3$

עולה כאשר $x > 3$

שימו לב: במצב מהחיים לוקחים רק את החלק שקיים: זרם המים יוצא ב־ $x = 0$ , ולכן הוא בעלייה עבור $0 < x < 1.5$ .

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353718 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳ · שאלה 6

נתונה הפרבולה $f (x) = - x^{2} + 3 x$ . החלק החיובי שלה מתאר את מסלול זרם המים במזרקה: $x$ – המרחק האופקי (במטרים) מנקודת המוצא, $y$ – גובה זרם המים (במטרים) מעל פני המים.

מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ .

- x^{2} + 3 x = 0 \Rightarrow x (- x + 3) = 0

$(0, 0)$ ו־ $(3, 0)$

איזה גרף (1–4) מתאר את הפרבולה?

$a = - 1 < 0$ ← „בוכה” (גרפים 1 או 2).

עוברת דרך הראשית ודרך $(3, 0)$ – נקודה מימין לראשית.

גרף 1

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 353719 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ג–ה)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳ · שאלה 6

מצאו את הנקודה שבה המים מגיעים לגובה מקסימלי.

x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 3}{2 \cdot ( - 1 )} = 1.5

f (1.5) = - 2.25 + 4.5 = 2.25

$(1.5, 2.25)$

עבור אילו ערכי $x$ זרם המים בעלייה?

מנקודת המוצא ועד הקודקוד:

$0 < x < 1.5$

ציפור עפה מעל הבריכה בגובה 3 מטרים. האם היא נרטבת?

הגובה המקסימלי של המים הוא 2.25 מטרים (סעיף ג).

2.25 < 3

לא – המים לא מגיעים לגובה 3 מטרים

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537110 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

$- 1. 5^{2} = - 2.25$ : מעלים בריבוע ואז מוסיפים את המינוס.
בנוסחת השורשים: $- b$ כש־ $b$ שלילי נותן מספר חיובי.
הקודקוד הוא נקודה – צריך גם $x$ וגם $y$ .

„גובה מקסימלי” = ה־ $y$ של הקודקוד.
עלייה/ירידה – תחום של ערכי $x$ , לא של גבהים.
במצב מהחיים – רק החלק שקיים (למשל $x \geq 0$ ).

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537111 / 12

בס״דמודל ריבועי · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

נתונה הפונקצייה $y = x^{2} - 6 x + 5$ .

האם הפרבולה „מחייכת” או „בוכה”?
מצאו את נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ .
מצאו את הקודקוד. האם זו נקודת מינימום או מקסימום?
מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$a = 1 > 0$ ← מחייכת
$x_{1, 2} = \frac{6 \pm 4}{2}$ ← $(1, 0)$ ו־ $(5, 0)$
$x = \frac{6}{2} = 3, y = 9 - 18 + 5 = - 4$
$(3, - 4)$ – מינימום
$x = 0$ ← $(0, 5)$

מתמטיקה 3 יח״ל · שאלון 3537112 / 12

› לכל המצגות

מצגת הסבר – מודל ריבועי

מודל ריבועי

מה נלמד?

הצורה הכללית

המקדמים a, b, c

„מחייכת” או „בוכה”? – לפי הסימן של a

a>0 – „מחייכת” ∪

a<0 – „בוכה” ∩

מה יש בנוסחאון?

חיתוך עם ציר ה־x

כשאין מספר חופשי (c=0) – גורם משותף

בכל מקרה – נוסחת השורשים

הקודקוד – הגובה המקסימלי

עלייה וירידה

„בוכה” (a<0)

„מחייכת” (a>0)

שאלת בגרות פתורה (א, ב)

שאלת בגרות פתורה (ג–ה)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

המקדמים $a$ , $b$ , $c$

„מחייכת” או „בוכה”? – לפי הסימן של $a$

$a > 0$ – „מחייכת” ∪

$a < 0$ – „בוכה” ∩

חיתוך עם ציר ה־ $x$

כשאין מספר חופשי ( $c = 0$ ) – גורם משותף

„בוכה” ( $a < 0$ )

„מחייכת” ( $a > 0$ )